※주의사항※
실제 문제 풀이에 ㅂㄹ 도움이 되지 않음
실수들이 보면 하찮아보일수있음
걍 언제 쓸수있고 왜 되는지에 관한 정보전달을 할 뿐인 글임
문풀에 크리티컬하게 도움되는 내용을 알려줄정도면 내가 수능을 잘 봤겠지 ㄹㅇㅋㅋ
그저 수학에관심있는 뷴태허수새끼가 방학에 할짓없어서 쓰는글이니까 좆같아도 너무 욕박지 말아줬음한다 교육과정 잘 지킬거야
미적분 문제를 풀다보면, 어떤 특수한 점에서
미분가능성을 판별해야하는 상황 또는
미분계수를 구하거나 이용해야하는 상황을 만나게 된다.
이때 우리는 보통 아래의 두가지 행동을 취한다.
1.
미분가능성의 정의(좌미분계수=우미분계수) 또는
미분계수의 정의에 해당하는 극한식을 이용하기
2.
도함수의 극한(좌,우극한)에 해당하는 극한식을 이용하기
1의 경우 그냥 정의를 쓰는거라 뭐 되고자시고 얘기할게 없다.
2의 경우 직관적으로 그럴싸하고 그래서 쓰고있긴하지만 왠지 좀 찝찝한 기분이 든다.
그래서 이 글에선 2에 초점을 맞춰
2가 언제 되고 왜 되는지에대한 설명과
간단한 적용 예시(그리고 1로 구한것과 진짜 차이가 없는지 확인해보기), 2를 적용할수없는함수는 어떤게 있는지를 알아볼것이다.
언제 되고 왜 되는지를 먼저 설명할건데,
일단 정리 하나를 보도록 하자
정리들이 뭘 말하고 있는지 간단하게 설명하면
1은
(전제)
a의 적당한 오른쪽 근방에서 미분가능하고 a에서 오른쪽 연속인 함수 f가 있을때,
f'의 a로의 우극한이 수렴하거나 일관되게 발산(+무한대로만 가거나 -무한대로만 가거나)하면,
(결론)
f의 a로의 우미분계수는 그 도함수의 a로의 우극한과 값이 같거나 발산 경향(어디쪽 무한대로 가는지)이 같다.
라는걸 말하는거고
2는 1의 반대쪽 버전 , 3은 1,2를 합친거임
설명을 읽어보면
우리가 이때까지 그냥 무지성으로 도함수 극한을 조사하여 미분계수 대신 쓴게 이 정리의 전제 부분 체크를 생략하고 결론만 이용한것이었음을 알수있을거임
그렇다면 언제 되는지에대한 답변은
이 정리의 전제부분이 되겠고
왜 되는지에대한 답변은
이 정리의 증명이 되겠지?
언제 되는지는 전제와 그에대한 설명을 읽어보면 쉽게 알수있으니 답변이 되었으리라 생각하고
(헷갈려할만한거 약간만 설명 하자면 "최소"저것만 만족시키면 되는거임. 그리고 이미 어렴풋이 느꼈겠지만 수능 문제에서 저거 만족 못시키는거 찾기 꽤 힘듬.),
본격적으로 증명을 해보겠음.
(1만 증명 써주면 2,3은 똑같은방법으로 증명 할수있기 때문에 2,3 증명은 생략함.)
빨간색 부분에서 조금 찝찝해하는사람이 있을것같아서
그에대한 부연설명을 하고 주의사항을 언급하겠다.
(엡실론 델타 논법으로 쓰면 간단하게 해결 되지만 교과과정 지키기로 했으니 어떻게든 설명해보겠음)
먼저, f'(x)의 극한이 수렴하거나 일관되게 발산한다면
a에 매우 가까이 있는 "아무"x나 잡아서 f'에 집어넣어도 f'의 값이 어떤 실수에 매우 가깝거나, 매우 크거나, 매우 작거나 이 셋중 하나"만" 일관되게 만족 해야한다.
그러므로 a에 매우 가까운게 확정인 c를 집어넣어도 똑같은 경향을 보여야하고 따라서 첫번째 화살표가 성립한다.
그리고, 첫번째 화살표의 역은 성립하지 않는다.
c들은 a근방의 수많은 x값중 (특수한 조건이 걸린) 극히 일부이고 그 일부를 대입한것들이 규칙성을 띤다 한들 a와가까운 "모든"x에 대한 함숫값이 규칙성을 띨지는 모르기 때문이다.
왜 되는지에 대한 답변도 증명을 통해 되었을것같으니 예시를 살펴보러가자.
190621가 의 "그" 점을 예시로 선택했음 ㅋㅋ
+)
무한대인경우 예시 추가.
f(x)=x⅓ 같은거 x=0에서 정리를 적용해보셈 그리고 미계정의써서 확인해보셈
이외에도 예를들어 미지상수를 포함한 함수와 특이점 미분계수가 주어진 상황에서 미분계수 정의를 이용해 미지상수를 구해야하는 상황에서도 도함수극한이 계산하기가 더 쉬워보인다면 정리를 적용해볼수있겠다.
마지막으로 정리를 적용할수 없는 대표적인 사례 하나를 알아보고 마치도록 하자.
( 2xsin(1/x)-cos(1/x)의 0근방 개형을 첨부하는것으로 수렴하지도 양이나 음의무한대로 발산하지도 않는 진동발산형태임의 증명을 대체 )
지금 쓰다가 배졵나고프고 잠도와서 내일 보완할거 보완하겠음 ㅂㅂ
수정.
시발 위에서 역은성립안한다한거 x²sin(1/x) 예시에서 추가적으로 얘기할려던내용의 빌드업이었는데 쓰기 개귀찮음 걍 누가 물어보면 그때 업데이트함 ㅅㄱ
좋은 글 감사합니다 - 애용
물리학갤에서 왔습니다만 도함수가 그 지점에서 진동하는경우 제외하면 정리 써도 ㄱㅊ다는거?
진동을 따로 정의하진 않는것같던데 이부분은 저도 1학년따리라 잘 모르니 패스하고, 글 내용을 요약하면
어떤 실수로 수렴할시 그방향 미분계수와 같다, 양의무한대나 음의무한대로 '일관되게' 발산할시 그방향 미분계수와 경향이 같다, 앞의 두가지경우 모두 아닐시(대표적으로 진동) 판별할수없다 임
판별할수없다는게 저 정리로는 판별할수없다는거ㅇㅇ 정의로 가야지
로피탈 정리임?