H_1, ... H_n을 공간 내에 서로 다른 n개의 평면이라 한다. H_1, ... H_n에 의해 공간이 T(H_1, ... H_n) 개의 공간영역으로 분할된다.
예를 들어, 공간 좌표를 (x,y,z)로 할 때,
(i) 평면 x=0, y=0, z=0을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 8,
(ii) 평면 x=0, y=0, x+y=1을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 7
(iii) 평면 x=0, x=1, y=0을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 6
(iv) 평면 x=0, y=0, z=0, x+y+z=1을 각각 H_1, H_2, H_3, H_4라 하면 T(H_1, H_2, H_3, H_4) = 15이다.
문제
(1) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 최댓값을 구하여라.
(2) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 2번쨰로 큰 값을 구하여라. 그러나 n>=2으로 한다.
(3) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 3번쨰로 큰 값을 구하여라. 그러나 n>=3으로 한다.
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평면방정식은 걍 그림으로 그려줬고, 더이상 필요한 기하 개념은 없음.
일본에서도 미친 난이도로 화제가 됐던 문제임.... (1), (2)번은 n에 대한 일반항을, (3)번은 스포일러긴 한데 초항 근처에서 특이항으로서 상수, 그 뒤로 일반항을 구하면 되는 문제.
어디까지나 이산수학, 수열의 문제이기때문에 n의 수를 늘려가며 관찰하되, 불변량에 대해 고민해야지만 풀 수 있음. 툭까놓고 말해서 n이 5 이상인 경우는 생각할 필요가 없음.
(3)번이 (2)번까지 풀다보면 쉽다고 여길 수 있지만 실제론 상당히 번거로운데, 애초에 시험에서도 부분점수 노리고 푸는 문제같고 굳이 얘 구하겠다고 시간 쓸 필요는 없다고 봄. 그리고 얜 기하개념 필요할 수도 있음
의외로 빨리 풀릴 수도 있고 못푼다면 힌트 공개함.
ㄷ.ㄷ