예를들어서 예전에 수잘갤에 썼던
고전 Bayesian 영상처리를 결정론적 방법론을 설명해보면
discrete setting에서 이미지
Bayesian 영상처리는 아래 꼴을 가진 inverse problem을 푼다고 볼 수 있음.
모델:
여기서 는 영상처리 문제에 따라서 denoising (
), inpainting 의 경우는 sampling operator (
), deblurring 같은 경우는 (
) 등으로 보면 되고
는 주어진 이미지
는 우리가 원하는 완벽한 이미지
는 평균 0, 표준편차
인 Gaussian noise로 보자.
A-priori density: , 완벽한 이미지 u의 a-priori information.
여기서는 놓고 (denoising problem) Bayes rule을 사용해서 주어진 g에서 u를 아는 a posteriori probability를 구해보자,
위의 이미지 모델 대입하면
영상처리 문제를 풀기 위한 maximum a posteriori (MAP)는 아래식을 최적화 시키면 얻을 수 있음
위의 최적화 문제를 continuous setting으로 옮겨서 ,
.
를 a bounded linear operator from
to itself 로 보면
이런 variational anaysis 형태로 나타낼 수 있음. 즉, 영상처리 문제를 베이지안 관점으로 볼 수도 있고, 아니면 PDE, variational methods의 관점으로도 볼 수 있음.
p.s. 물론 너가 정말 Bayesian의 관점에서 고전 영상처리를 전공한다면 Expectation of u (given g)를 계산하는 방법 을 주로 다룰것임. 다만 아래식은 주로 stochastic technique를 사용함.
딥러닝 이야기 - 충분한 학습 데이터가 있으면 예를들어서 denoising operator 자리에 딥러닝 아키텍쳐를 넣으면 위의 고전 방법들을 압살함.
베이지안인데 어떻게 결정론이됨
본문보면 베이지안에서 해석적으로 변분법 이용한 최적화 form으로 유도했잖아. 저기다가 t 주고 편미분해서 time marching 수식 유도하면 pde 로 풀수 있고, 저기서 언급한 수식은 primal dual form, Bregmann iteration 등 통계적 관점 대신 해석적으로 최적화 방법으로 다룰 수 있다 이말인듯
애초에 통계에서 다루는 estimator도 식 자체는 fixed되어있고 똑같이 해석학이나 최적화(이건 그렇게 많이있는진 모르겠음) 관점으로 접근해서 연구하는 애들인데 그러면 통계에서 쓰는 estimator들도 다 결정론적이라 주장하고싶은가?
예전 고전방법론 중 변분법 및 기하측도로 컴퓨터 비전하던 사람인가봄. 서울대 수학과 강모 교수 등 여럿 있었음
우문현답이네 39.7아 모르면 가만히라도 있어라
라그랑주?
MAP 넘어가는게 좀 이상한거 같은데 저 경우 분모를 날릴 수 있는게 맞냐
어떻게 시작하면 되나요
이런 접근법도 있구나..... 좀 생각해봄....
진짜 고맙다 나 역문제에 베이지안 쓰는 고전적 방법론 쓰면서 딥러닝 갖다 쓰는 연구실인데 단 한번도 베이지안 밖의 관점에서 접근할 수 있다는 생각을 못해봤음. 변분법은 현대 물리 시간에 간략하게 들은 정도였는데 chatgpt한테 간략하게 물어봤는데 전혀 느낌이 다르네. 곰곰히 생각해볼게.....
생각해보니까 이게 슈뢰딩거 브릿지 쪽이랑 연결되는구만
한물 간 분야라고 봤는데 하는 사람이 있구만