해석학, 함수해석학은 모두 편미분방정식을 다루기 위해 목차가 짜여짐

원래 물리학자가 하던 직관적인 테크닉을 정당화하기 위한 수학들을 실해석과 함수해석학에서 다룸

편미분방정식은 ㅈㄴ 어려워서 구체적인 해를 못구함

그래서 여기서 두가지 갈림길로 나뉘는데

근사해라도 구하는게 목적이면 수치해석 추가로 오차의 상한까지 얻는거

해의 존재, 유일, 매끄러운지, 폭발하는지만 보이는게 PDE

왜 이 하필 4가지냐

해의 존재는, 이 편미분방정식이 물리적으로 잘 쓴건지 검토하려고 하는거고

유일은 우주가 결정론적인지 검토하는거고

매끄러운지도 역시 이 편미분 방정식이 물리적으로 잘 만들어졌는지 검토하는거고

폭발하는지도 역시 편미분방정식이 물리적으로 잘 만들어졌는지 검토하는건데

아무리 엄밀하게 물리학적인 상황을 수학적으로 편미분방정식으로 모델링해도 해가 유일하지 않거나 매끄럽지 않거나 폭발하는 경우가 있음

이때는 보통 편미분방정식을 고전역학개념만 사용했고, 유체를 하나의 덩어리라고 가정하는 등 기존 편미분방정식은 너무 대충 설계했고 양자역학 개념을 추가해서 더 엄밀하게 상위호환인 편미분방정식을 짜야한다는 길을 제시함

가장 흥미로운건 블랙홀을 예상했다는거임

별의 편미분방정식 풀때, 무한대로 폭발하는 blow up이 나타났는데, 이를 별이 완전한 구형이고 온도분포도 균일하고 실제로 존재할 수 없는 완벽한 대칭상태일때 발생하는 오류라고 생각했음

그런데, 별이 울퉁불퉁하거나  온도가 임의로 분포 되어있거나 실제로 존재할 수 있는 일반적인 상태임에도 그러해도 여전히 blow up을 피할 수 없었고

현대에 들어서 블랙홀을 예측했다고 하는거임

블랙홀의 blow up을 해결하려면 편미분방정식 다시짜야하는데, 양자역학과 상대성이론의 양자 중력 문제가 여기서 나옴

별의 임의의 모양에 맞춰서 편미분방정식을 설계할수 없기에

해석학에서 부등식을 사용하는거임

실제 우리우주에 있는 별은 부등식으로 바운드된거에 있기는 하니까

ㅈㄴ울퉁불퉁한 별에 대한 편미분 방정식과 ㅈㄴ 아름다운 별의 편미분방정식을 부등식 경계로 잡고

여기로부터 각종 테크닉을 하면 됨

추가로 일반적으로 | x + y | 가 있으면  | x + y |<= |x| + |y| 라는 삼각 부등식만 쓸수있는데, 뭔가 통계적으로 연관이 있으면 부등식을 더 세밀하게 잡을 수 있는 것도 됨

그리고  어쨋든 완비순서체는 유일하고 그게 실수이기때문에 해석학이라는 학문은 다른걸로 대체될 수 없고

부등식이라는 것을 다루고 x+1과 e^x 은 다르지만

시그마, 적분, 리미트 안에서는 서로 동치관계이기 때문에

대수구조를 줄 수 있다

서로 원하는만큼 가까이 할 수 있으면 같다고 보는게 해석학의 대수구조임

대수와 해석은 애초에 배척되는 관계가 아닌듯

흥미로운 테크닉으로는 해가 존재하면 그걸 편미분방정식에 대입하고 그걸 또 조작하다가 한번미분가능하다는 정보를 얻고 해를 구해서 그걸 또다시 원래편미분방정식이 편미분 2번 3번... 무한번 가능하다는걸 얻는거고

x라는 좌표계를 t^a u로 치환해서 특이점 해소를 하거나

그냥 여러가지임



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