[💬] 코드몽키 벗어나기 14 - 고차원 추상화와 언어의 표현력

[차별없는차단(pnacrd8pn5la)]

여태까지 요약

프로그래밍 언어를 이해하기 위해 그 프로그래밍 언어가 어떻게 데이터와 프로시져를 표현하는지 빌드업 중.

가장 기본적인 개념들을 배운 뒤, 지금은 고차원적인 추상화가 얼마나 언어의 표현력을 높여주는가를 배우는중.

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이번 세션에서는 고차원 추상화로 인해 언어의 표현력이 얼마나 높아지는가를 배운다.

그것을 체험하기 위해 뉴턴방법 알고리즘을 구현한다.

1. 처음에는 가장 기초적인 추상화만을 이용해 제곱근을 뉴턴방법으로 구하고,

2. 그 다음에는 프로시져를 인수로 사용하는 추상화와 리턴값으로 프로시져를 사용하는 추상화를 이용해 좀 더 제너럴한 뉴턴방법을 구현한다.

추상화가 고차원화 되감에 따라 어떻게 표현력이 올라가는지,

수학적 개념을 표현하는것이 어떻게 변화하는지를 살펴보자.

먼저 가장 기초적인 추상화만을 이용해 제곱근을 뉴턴방법으로 구해보자.

뉴턴 방법 (Newton's Method) 의 자세한 설명은 위키를 참조.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%89%B4%ED%84%B4_%EB%B0%A9%EB%B2%95

간단하게 뉴턴 방법을 설명하자면,

미분 가능한 함수 f 의 근을 찾기 위해서 다음과 같은 스텝을 근에 충분히 가까워질때까지 반복하는것.

1. f(x0)이 0에 충분히 가까운지 체크.

2. 0이 아닐경우 x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) 로 설정.

3. f(x1) 이 0에 충분히 가까운지 체크.

여기서 xn은

위의 스텝을 f(xn)이 0에 충분히 가까워질때까지 반복하는것.

보다시피 스텝을 반복할 때마다 0에 가까워지는것을 확인할 수 있다.

뉴턴방법을 사용해 제곱근을 구하는 것을 가장 간단한 추상화를 이용해서 구현을 해보자.

임의의 수 k의 제곱근을 구하기 위해 f를 아래와 같이 정의한다.

f(x) = x^2 - k

f(x) = 0 이 되는 x값을 찾으면 된다는거.

그렇다면 f의 미분은 f'(x) = 2 * x 이 되고,

xn의 다음값인 x(n+1)은 아래와 같은 수식이 된다.

x(n+1) = xn - (f(xn) / (2 * xn))

x(n+1) = xn - ((xn^2 - k) / (2 * xn))

그렇다면 임의의 수 k의 제곱근을 구하는 알고리즘은 아래와 같다.

1. x0을 선택한다.

2. x0이 충분히 가까울경우 -> x0을 리턴.

3. x0이 가깝지 않을경우 -> x1을 선택해서 2로 돌아간다.

위의 알고리즘을 lisp 로 표현하면 아래와 같다.

guess 는 처음에 추측하는 수 x0이고,

x는 위의 식의 k에 해당한다. (2의 제곱근을 구하라 라고 한다면 x=2)

그리고 good-enough? 프로시져는 추측한 수가 제곱근에 충분히 가까운가를 판단한다.

추측수를 제곱한 수와 x의 차가 0.001 이하라면 충분히 가깝다고 판단.

improve 는 처음 추측한 x0이 가깝지 않을경우 다음 x1을 구하는 식을 표현한 프로시져이다.

x(n+1) = xn - ((xn^2 - k) / (2 * xn))

이렇게 가장 간단한 추상화만으로 제곱근을 구하는 뉴턴방법을 구현해 보았다.

하지만 위의 구현은 제곱근만을 구할 수 있을 뿐, 범용적인 뉴턴방법이 아니다.

좀 더 제너럴한 뉴턴 방법을 구현하기 위해서는 어떻게 해야 할까?

뉴턴방법을 구현하기 위해서는 좀 더 고차원적인 추상화가 필요하다.

하나는 인자로서의 프로시져, 또 하나는 리턴값으로의 프로시져를 사용한다.

인수로서의 프로시져와 리턴값으로서의 프로시져 사용해 뉴턴방법을 구현한다. (고차원 추상화)

뉴턴방법을 구현 하기 위해서는 처음의 추측이 가깝지 않을때, 다음의 추측을 구하는 식을 구현해야 한다.

위의 식을 구현하기 위해서는 f의 미분 f 프라임 을 구하여만 한다.

여기에서 주목해야 하는것이, f와 f프라임 은 식이라는것.

어떠한 식을 인수로서 받아서, 그 식을 처리해서, 변형된 식을 리턴해야 한다.

즉, 여기에서 인수로서의 프로시져와 리턴값으로서의 프로시져를 사용하는 추상화가 필요하다라는것을 알 수 있다.

먼저 어떠한 식의 미분을 구하는 방법은 아래와 같다.

dx가 충분히 작다면, Dg(x)는 g의 미분이라고 할 수 있다.

이것을 Lisp로 표현하면 아래와 같다.

보면 알다시피, g는 인수로서의 프로시져이고, deriv 가 리턴하는것은 람다식, 즉 리턴값으로서의 프로시져이다.

그렇다면 이 미분을 구하는 프로시져를 사용해서 다음 추측을 계산하는 improve를 구현하면 아래와 같다.

또한 추측값이 근에 충분히 가까운가? 를 체크하는 good-enough? 도 좀 더 제너럴하게 바꿔야 한다.

추측한 값 guess 에 대해 f(guess) 값이 0에 충분히 가까운지 체크하는 식으로 변경한다.

그렇다면 뉴턴방법은 아래와 같이 구현 가능하다.

이렇게 뉴턴방법을 구현해 보았다.

이번 세션에서는 추상화의 고차원화로 얼마나 언어의 표현력이 높아지는지 알아보았다.

고차원 추상화가 없으면 뉴턴방법을 구현하는것은 어렵지 않을까.

여하튼 오늘은 여기까지

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