[💬] I wanna be the Quaternion gems

[ㅊㄹ(122.47)]

맨 위에 사진이 하나 더 게시되었네요. 오류인가봅니다. 처음 작성해보는 글이라 뭔가 잘못 설정 한 것 같네요.

위 사진은 무시하고 쭉 읽어주시면 되겠습니다. 죄송합니다.

언젠가 게임을 개발하실때 사원수, Quaternion, 쿼터니언 등의 용어를 들어보신적이 있으셨을겁니다.

Quaternion은 복소수의 확장 체계로, 게임 프로그래밍에선 강체(Rigid body)의 회전변환을 할 때 사용되는데요.

이게 수학적으로 어떻게 작동하는지, 프로그램에서는 어떻게 표현되는지 궁금하신 분들이 계셨을겁니다. 저 역시 그랬고요.

이번 기회를 통해 사원수, Quaternion의 작동원리에 대해 파헤쳐보고자합니다.

(되도록 I wanna be the Quaternion gems 시리즈 안에서 해결이 가능하도록 사원수의 이해에 있어서 필요한 여타 수학공식과 그 유도과정도 가능한 한 상세히 기술해놓을 예정입니다.)

원소 x, y, z, w를 가지는 q가 바로 사원수입니다.

x, y, z는 허수(imaginary number), w는 실수(real number)값입니다.

x, y, z값은 복소공간에서의 벡터로 표현될 수 있는데, 벡터 v = (x, y, z)로 생각해서 사원수(x, y, z, w)를 (v, w)와 같이 표기가 가능해집니다.

(복소공간이 무엇인지에 대해서도 궁금하시겠지만, 나중에 소개해드릴테니 지금은 꾹 참고 기다려주세요 ㅎㅎ)

맨 위에서 살짝 말씀드렸는데, 사원수는 복소수의 확장체계로, 복소수로부터 발견된것입니다.

그렇다면 복소수가 뭔지, 기하학적으로 어떻게 표현되는지에 대해 그 근본을 알아야겠죠?

그럼 복소수(complex number) z를 정의하겠습니다.

중고등학생 시절에 필히 보게되는 식인데, 익숙하실런지 모르겠네요.

a는 실수부, bi는 허수부이며, 이 두 수의 수 체계(실수, 허수)를 통틀어 복소수라 일컫습니다.

그리고 위 사진에서 우리는 그 복소수를 z라고 정의했구요.

맨날 봐오던 좌표계입니다. 직교좌표계(Cartesian coodinate system)라고들 부르시는데요, 잠깐 축의 영어들을 다시 보시면 뭔가 이상한 점을 발견 하실수 있으실겁니다.

바로, x와 y가 아닌 r과 i가 써있다는건데요.

이는 이 좌표축이 우리가 일반적으로 봐오던 실수 좌표계가 아닌 복소수 좌표계임을 의미합니다.

이 좌표계는 복소평면(complex plane)이라고 불리는데요.

수학자들께서 복소수를 기하적으로 표현하기 위해 개발한 좌표평면입니다.

r을 실수축, i는 허수축으로, 보다시피 서로 직교하고있죠.

갑자기 뭔가 많아졌습니다. 슬슬 머리가 아파오실지도 모르겠네요 ㅋㅋ!

너무 걱정하지마시고 차근차근 살펴봅시다.

(a, 0)의 위치에 빨간점과 (0, bi)의 위치에 파란점이 보이시나요?

이 점의 위치는 보자마자 바로 빨간점은 (a, 0), 파란점은 (0, bi)라고 말할 수 있을것입니다.

그럼 보라색 점을 보도록하죠. 벌써 답이 나오셨나요?

보라색 점의 위치는 빨간점과 파란점의 위치를 합친 위치, (a, bi)겠지요.

그럼 벡터의 관점에서 볼 때, 원점에서 파란색 점으로 향하는 벡터 a와 원점에서 빨간색 점으로 향하는 주황색 벡터 bi를 더하면 어떤 벡터가 나올까요?

정답은 바로, 두 벡터 사이에 어느 정도 합의를 본 벡터, 분홍색 벡터입니다. 식도 마침 두 벡터를 더한 값 a + bi군요. (당연하지만 이해를 돕기 위해 이렇게 적겠습니다.)

a + bi는 다른 식으로도 표현이 가능한데요, 위 사진에서 나왔듯, r(cosθ + isinθ)입니다.

이와 같은 표현을 사용한 식을 극좌표형식이라 하는데요, 그 이유는 극좌표계의 표기방식에 있습니다.

이에 대해선 궁금하시면 다음장에 써넣도록하죠.

방금 소개드렸던 극좌표형식과 r과 θ값이 추가된 좌표계의 모습입니다.

r은 벡터 a + bi(z라고 볼 수 있죠.)의 크기이며, θ값은 실수축 양의 방향(0도)으로 부터 재어지는 각의 크기입니다.

왜 하필 실수축 양의 방향을 0도로 놓나요? 라고 물으신다면, 그 이유 역시 극좌표계를 살펴보시면, x축 양의 방향이 0도이기 때문입니다.

뭐, 굳이 x축 양의 방향을 0도라고 놓지않고 y축 양의 방향을 0도로 놓으셔도 상관은 없습니다.

θ값을 +90도 또는 -90도 계산을 해준다면 말이죠.

그럼 어떻게 식 r(cosθ + isinθ)이 유도되는지 얘기해보죠.

직각삼각형 하나가 좌표평면에 놓여있습니다.

sin = (높이의 크기 / 빗변의 크기), cos = (밑변의 크기 / 빗변의 크기)이므로 오른쪽과 같은 식으로 정리할수있죠.

θ값까지 넣어서 식을 표기하면 아까 식에 θ만 됩니다만, 옆에 화살표를 하고 뭐가 더 늘었죠?

이는 좌측의 식을 이항하여 각 변의 값을 구한 것 입니다. 이해되시나요?

그럼 아까의 삼각형을 토대로 우린 복소평면에서 이런 식으로 값을 정해줄 수 있습니다.

좀 더 이해하기 쉬우시게 각 항(a와 bi)의 값이 무엇이고, 이떻게 이것이 r(cosθ + isinθ)라는 식으로 변하는지에 대해 풀어적어보았습니다.

이건 도대체 무슨 소리를 하는것일까요?

찬찬히 보도록 합시다.

먼저 좌측의 복소평면엔 θ만큼 회전한 벡터 z0, φ만큼 회전한 벡터 z1과 (θ + φ)만큼 회전한 벡터가 보이네요.

우측의 식도 살펴봅시다.

z2 = z0 * z1. θ만큼 회전한 벡터 z0과 φ만큼 회전한 벡터 z1을 곱하면, (θ + φ)만큼 회전한 벡터가 나옵니다.

단, 조건이 있습니다. 두 번째 줄을 보시죠.

||z0|| = ||z1|| = ||z2|| = r = 1이랍니다. (||a||는 벡터 a의 크기를 의미합니다. |a|라고 표기하시는 분들도 있으신데, 절댓값의 개념과 뒤엉켜 오해하실수도 있으시니 이렇게 표기했습니다.)

||a||가 벡터의 크기라고 말씀드렸는데, 아까전에 위에서 r은 곧 벡터의 크기라고 비스무리하게 말씀드렸었는데 기억하시나요?

기억이 안나신다면 지금 생각하세요. 벡터의 크기가 곧 r입니다.

상식적으로 생각해서, 두 복소수의 곱이라면 회전이 된다한들, 분명 크기에 변화가 있을것입니다.

하지만, 크기에 변화가 없을 수 있는 방법이 하나 있습니다.

바로 r을 곱의 항등원 1로 정의하는 것이죠. (벡터의 정규화라고도 볼 수 있겠네요.)

그래서 ||z0|| = ||z1|| = ||z2|| = r = 1이라는 식을 써넣은 것 입니다.

크기가 변하지 않고 온전하게 회전된 벡터 z2를 구하기 위해서요!

위 식은 두 복소수 벡터의 곱을 풀이해 놓은 것인데요, 마지막줄과 바로 윗 줄 사이에 뭔가 빠진것같습니다.

갑자기 식이 확 줄어든 느낌이 들죠? 이 부분은 바로 삼각함수의 덧셈정리를 이용했기 때문인데,

다음 글에서 소개해드리도록 하겠습니다.

질문, 오타등 얘기해주시면 바로바로 업데이트 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

[ㅁㄴㅇ(112.120)]

마지막에는 그냥 (x,y,z)축으로 w만큼 회전한다고 외우고 수학라이브러리 쓰게됨

[ㅊㄹ(122.47)]

마지막에서 두 번째 사진에 z0 = r(cosθ + isinθ), z1 = r(cosφ + isinφ)입니다. z2도 마찬가지로 r로 묶어주시구요.. 식을 r로 묶었어야했는데 새벽인지라 조금 졸았나봅니다 ㅠㅠ - dc App

[아이고이아(1.249)]

쿼터니언 그것은...

[Creta_Park(hd3306)]

영양가 있는 좋은 글을 쓰셨네요!

[ㅊㄹ(222.110)]

감사합니다 - dc App