[💬] I wanna be the Quaternion gems #2

[cf(122.47)]

안녕하세요. 오늘은 저번에 공지했듯이, 삼각함수의 덧셈정리에 대해서 알아보겠습니다.

게시 사진 제한이 20장이라 이번글은 이걸로 마쳐야 할 듯하네요.

이 그래프 기억나시나요? 이 그래프를 두 복소수의 곱은 두 복소수가 이루는 직각삼각형의 각각의 빗변(그냥 복소수 벡터로 보셔도 무방합니다. 같은걸 가리키니까요.)과 X축 양의 방향이 이루는 사이각들의 합을 사이각으로 하는 또 다른 복소수를 나타냄을 알 수 있는데요, 한 번 증명해봅시다.

이 식이 바로 그 증명이라 볼 수 있겠는데, 갑자기 마지막 줄과 바로 윗줄 사이에 뭔가 엄청난것이 있었던건지 한 번에 식의 부피가 줄어들었네요.

이 풀이는 이제는 질리도록 소개만한 삼각함수의 덧셈정리 때문입니다.

그럼 삼각함수의 덧셈정리에 대해 기하학적으로 풀이해드리도록 하겠습니다.

좌표평면상에 길이가 1인 (θ + φ)만큼 회전한 복소수 벡터와 길이는 모르지만 φ만큼 회전한 복소수 벡터가 보이는군요. (굳이 이 친구의 길이를 알 필요는 없습니다.)

그럼 우린 이렇게 삼각형을 그려줄 수 있습니다. 그리고 보다시피 두 변의 길이를 구할 수 있습니다.

각 변의 길이를 삼각비를 이용해서 구할 수 있는데, 아마 기억하지 못하실테니 다시 한 번 적어드리겠습니다.

보라색 박스안에 적혀있는 내용을 보십시오. 이제 좀 기억이 나시나요?

잘 모르겠으면 노트에 좀 끄적이시다보면 깨닫게 될 것입니다. 정 모르겠으면 댓글 다셔서 물어보세요.

나머지 변의 길이도 이렇게 구할 수 있겠네요.

이번엔 좀 새로운 삼각형을 그려봤습니다. 각의 크기가 (θ + φ)이고 초록색을 띠고있네요.

빗변의 길이는 1 그대로구요.

나머지 변의 길이도 삼각비를 이용해서 구했습니다.

이번엔 주황색 삼각형을 그렸는데요, 각의 크기가 φ입니다.

빗변의 길이는 sinθ네요, 아까 썼던건데 좀 잘 보이게 다시 썼습니다.

각의 크기가 왜 φ죠? 하시는 분들을 위해 적어봤습니다.

그냥 쭉 보시면 될 것 같네요.

이해를 돕기 위해 변에 색을 칠했습니다.

2번(분홍색)변에서 3번(빨간색)변을 빼면 1번(파란색)변이 나온다는 것을 알 수 있습니다.

이를 식으로 풀어쓰면 이렇게 됩니다.

맨 위에서 두 번째 사진을 보시죠. 보라색 화살표로의 유도가 완료되었습니다.

이번엔 라임색 화살표의 유도과정입니다.

2번(분홍색)변과 3번(빨간색)변을 더하면 1번(파란색)변이 나옵니다.

식으로 풀어쓰면 이렇구요.

라임색 화살표의 유도도 완료되었군요!

ㄴ 삼각함수의 덧셈정리 공식.

이상, 삼각함수의 덧셈정리에 대한 기하적풀이였습니다.

쿼터니언은 이런식으로 처음부터 끝까지 쭉 대로를 걸으면서 중간중간 필요한 골목길을 들어갔다 나왔다하는 식으로 설명할 예정입니다.

포기하지 마시고 질문해주시면 언제든 답변해 드리겠습니다.

수고하셨습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

[익명(104.236)]

오 고마워. 삼각함수 덧셈공식 변환되는 과정 이렇게 자세한 풀이 있는거 첨봄. 나도 이거 도형그리면서 이해할려고하다가 포기하고 걍 외워서 풀었는데 너무 고맙당.. 추가된 작은 삼각형으로 계산하는거구낭

[cf(122.47)]

쉽게쉽게 말씀드리려다보니 글이 꽤 장황해졌는데 끝가지 믿고 읽어주셔서 감사드립니다. 도움이 되었다니 다행이네요 :)