[💬] (수학 떡밥) Mars lander 분석

[地鬼(dczlatan)]

Mars lander 라는 게임이 있음. 화성 착륙 겜이라는데 탐사선 같은 것이 높은 고도에서 점점 중력의 영향을 받아서 내려오는데

안전 착륙 속도라는 것이 있어서 착륙할 때 그 속도가 아니면 탐사선이 망가짐.

그래서 중력의 반대방향으로 분사되는 추진력을 조절하여 안전하게 착륙시키는 게임임. 뭐 들리는 소리로는 나사에서 우주 탐사선 내릴때 시뮬레이션하는 용으로 썼다고 함...

탐사선이 저렇게 내려옴.

이 문제를 풀 때 고민되는 것은 언제 엔진을 켜야되냐는 것이지.

자유낙하 시간이 길면 속도도 많이 올라가있고, 충분히 내려온 상태라 안전 속도 까지 속도를 내리기전에 바닥에 부딪힐 수 있음.

그렇다고 너무 빠르게 엔진을 켜면 내려가는 하강 속도가 너무 낮아짐. 바닥에 닿기 전에 연료를 다 써버려서 결국 안전 속도보다 빨라져서 실패하게 됨.

일반적으로 자유낙하는 물체의 가속도는 이렇게 표현됨.

x'' = -g

g는 중력 가속도이고, x는 거리라고 합시다. 대기가 있는 곳에서 떨어지면 c*x' 라는 항력을 추가해줘야하는데 화성에 대기가 있나...???? 모르겠지만 없다고 합시다.

그런데 이 문제에선 가속도가 시점에 따라 이렇게 바뀜.

x'' = {  -g         if t < a

-g + h     if a <= t < b

-g         if t >= b

저런 경우 간단하게 헤비사이드 스텝 함수를 쓰면 표현하기가 쉬움

x'' = -g + h*u(t-a) -h*u(t-b)

h는 엔진의 추진력임, thrust. a는 엔진을 켜는 시간, b는 엔진을 끄는 시간.

그럼 이제 저기 두번 미분된 미분방정식을 풀면 된다. 그런데 오른쪽에 헤비사이드 스텝 함수가 있으니까 뭔가 좀 그렇잖아? 저런거는 라플라스 변환을 쓰면 된당.

라플라스 변환에 대해 설명하는건 글의 범위에 벗어나니까 스킵하겠음.

혹시 라플라스 변환을 배우지 않았지만 관심이 있다면, 고딩 미적분 때 배우는 부분적분이랑 분수형태의 극한값 계산할 때 쓰는 로피탈 정리 정도 읽어보셈. 그리고 간단한 상미분방정식(ODE) 내용 정도만 보면 라플라스 변환을 그냥 써먹는 정도는 할 수 있을듯. 어짜피 대학교 2학년 1학기때 배우는 내용이라 ...

L = L{x} 라고 하겠음. 위의 미분방정식은 아래의 라플라스 변환 형태로 바뀜. 

s^2 * L - s*x(0) - v(0) = -g/s + h*exp(-as)/s - h*exp(-bs)/s

초기값인 v(0) = 0 이고, x(0) = 420 이라고 하면

s^2 * L = 420*s - g/s + h*exp(-as)/s - h*exp(-bs)/s

이니까 쭉~~ 정리하면

L = 420/s - g/s^3 + h*exp(-as)/s^3 - h*exp(-bs)/s^3

라플라스 변환된 친구들을 원래 함수로 고치기 쉽게 모양을 좀 바꿔주면...

L = 420/s -(g/2) * (2!/s^3) + (h/2)*exp(-as)*(2!/s^3) - (h/2)*exp(-bs)*(2!/s^3)

이제 원래 타임 도메인 함수로 돌아가기 쉽당.

x = 420 - (g/2)*t^2 +(h/2)*(t-a)^2*u(t-a) - (h/2)*(t-b)^2*u(t-b)

헤비사이드 거르고 보면 이렇게 됨

x = {    420 - (g/2)*t^2                     if t < a

420 - (g/2)*t^2 + (h/2)*(t-a)^2      if a <= t < b

...

t = b일 때 바닥에 도착했으면 하니까

0 = 420 - (g/2)*b^2 + (h/2)*(b-a)^2

이걸 만족하는 b 를 찾으면 됨. 근데 여기서 a를 모르잖아? 저 문제에서 b-a를 가져 올 수 있음.

처음 시작할 때 연료를 F 만큼 가지고 시작하는데, 엔진을 켜면 연료가 초당 h 만큼 달아(h는 thrust라고 했지)

이 게임에서는 100 만큼 가지고 시작하고, 최대 thrust는 8이니까 b-a = 12.5 초, 딱 12.5 초만큼만 풀파워로 엔진을 켤 수 있어(사실 단이 0, 1, 2, 3, 4 이렇게 올라가니 12.5 초보단 짧음)

그럼 b = SQRT( {420 + (8/2)*12.5^2} * (2/g) ) 가 됨. 풀어보면 17.27 초임.

그럼 a 는 앞의 b-a = F/f 의 관계에 의해 대략 4.77 초가 된당.

즉 자유낙하하고 4.77 초에 엔진을 최대한 땡기면서 내려오면 됨.

고도 변화는 이런 식.

근데 사실 17.27초에 속도가 20 m/s 이내로 들어오는지도 계산해야되는데 저대로 계산하면 20.x 초임. 엔진 단을 올리는 과정을 귀찮아서 걸러서 그런거임 ㅇㅇ;

이 케이스는 가속도가 전부 상수라서 라플라스 변환을 굳이 할 필요는 없지만 그냥 저런 경우를 다룰 수 있는 함수가 있어서 써봄.

그리고 2학년때 배웠던거 복습하는 겸 ...;;

저기서 가속도가 선형으로 변하던가 그런 경우엔 헤비사이드 스텝 함수 써주면 그냥 별다른 고민 없이 바로 풀 수 있어서 좋지.

이런 수학이 프로그래밍하는데 도움이 될까??? 그냥 알면 언젠가는 쓰겠지 ... 정돈거 같음.

저런 문제 수학 없이 푸는 방법도 있고, 미분 방정식 못풀어도 수치해석으로 풀 수도 있음(수치해석도 수학이겠지만..)

저 게임에서 thrust 단수 올릴 때 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 ->3 ->2->1 ->0 이렇게 1단씩만 바뀌도록 만들었는데

이거 오토마타로 했거등. 2차원 배열 state = [[1,0],[2,0],[3,1],[4,2],[4,3]] 이런거 하나 만들어두고

keyboard.up 일 때 curState = state[curState][0]

keyboard.down 일 때 curState = state[curState][1]

이런식으로 짜두면, 막 += 1 라던가 스위치에 if문 넣고 안그래도 된다구 ... 이런 컴공 성님들의 빛나는 지혜가 훨씬 중요하다고 생각행.

트리니 그래프니 하는 그런거 있자너.

[아이고이아(1.249)]

왠지 앞으로 그 유니티로 게임이 아니라 연구용 시뮬레이션 만드는 일본의 그 교수처럼 되겠는데...

[地鬼(dczlatan)]

그런 분들은 ㄹㅇ이시고;;; 난 그냥 말 그대로 장난이지

[Creta_Park(hd3306)]

ㅓㅜㅑ