[💬] 벡터의 연산과 활용

[vertex(4321vertex)]

게임제작에서 사용되는 벡터의 연산과 다양한 활용법에 대해서 설명하는 글이에요

그리고 저도 수학을 잘 아는게 아니고 제가 이해한 범위 안에서 쓰는 글이라, 틀리거나 잘못된 내용이 있을수도 있어요

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1. 벡터의 정의

벡터(x,y)란 위의 그림처럼 원점(0,0)부터 해당 지점까지 향하는 선분을 이야기해요,

혹은 a라는 벡터가 있으면 (a1,a2)이런 형식으로 표현하기도 해요, a1이 a벡터의 x좌표고 a2가 a벡터의 y좌표에요

2. 벡터의 덧셈

위의 그림처럼 벡터 a에 벡터 b를 더하면 a의 끝에서 b만큼 나아간 벡터 c가 나와요

즉 벡터(x1,y1) + 벡터(x2,y2)는 (x1+x2, y1+y2)에요

위의 그림에서 보라색 벡터랑 주황색 벡터는 서로 똑같은 벡터에요

3. 벡터의 뺄셈

위의 그림처럼 벡터 a에서 벡터 b를 빼면 b에서 a로 향하는 벡터c가 나와요

분홍색 c는 보라색 c를 다시 원점 기준으로 표시한거에요, 즉 최종적으로 나오는건 분홍색 벡터에요

즉, 벡터 (x1,y1) - 벡터(x2,y2) 는 (x1-x2,y1-y2)에요

4. 벡터의 곱셈

벡터의 곱셈은, 벡터의 각각의 좌표에 해당 수를 곱한거에요

즉 벡터 (x,y)에 a를 곱하면 나오는 벡터는 (x*a, y*a)에요, *가 곱하기에요

5. 벡터의 나눗셈

벡터의 나눗셈도, 벡터의 각각의 좌표에 해당 수를 나눈거에요

즉, 벡터 (x,y)에 a를 나누면 나오는 벡터는 (x/a, y/a)에요 /가 나누기란 뜻이에요

6. 벡터의 길이

위의 그림처럼 벡터가 있을때, 이 벡터의 길이 a는

(x^2+y^2)^0.5 에요

여기서 ^2는 제곱이고 ^0.5는 루트에요

7. 단위벡터

단위벡터란 길이가 1인 벡터를 이야기하는거에요

8. 벡터의 정규화

벡터의 정규화란 어떤 벡터를 단위벡터로 만드는거에요,

즉 벡터의 방향(각도)를 유지한채로 길이만 1로 줄이는 과정이에요

그리고 이렇게 하기 위해서는 해당 벡터의 길이를 구한다음, 벡터의 각각의 좌표를 해당 길이로 나눠주면 되요

즉, 벡터(x,y)의 길이가 d라면 벡터를 정규화하기 위해서는 (x/d, y/d)를 하면 되요, 이렇게하면 벡터 (x,y)와 방향(각도)가 동일하고 길이가 1인 단위벡터가 나와요

9. 수직벡터와 반대방향벡터

위의 그림처럼 벡터(x,y)에 수직인 벡터는

(-y,x) 그리고 (y,-x)이렇게 두가지가 있어요

그리고 벡터(x,y)에 반대방향인 벡터는 (-x,-y)에요

10. 벡터의 회전

위의 그림처럼 벡터 (x1,y1)를 원점 기준으로 a각도만큼 회전시켰을때 나오는 벡터 (x2,y2)는

x2 = x1*cos(a)-y1*sin(a)

y2 = x1*sin(a)+y1*cos(a)

에요

여기서 sin과 cos는 삼각함수에요

11. 벡터의 내적

위의 그림처럼 벡터a가(a1,a2)고 b가 (b1,b2)라면 

이때 벡터 a와 b의 내적인 a⋅b는 a1*b1+a2*b2에요

그리고 만약 벡터 (x1,y1)과 (x2,y2)의 내적이라면 그 값은 x1*x2+y1*y2가 되요

12. 내적을 통한 방향판별

두 벡터를 내적한 값의 부호를 통해서 두 벡터의 방향을 판별할수 있어요

위의 그림처럼 벡터 a와 b가 있을때 두 벡터를 내적해서 나온 값이 0보다 크면 두 벡터는 같은 방향이에요, 즉 사이의 각도가 90도를 넘지 않아요

그리고 내적해서 나온 값이 0이면 두 벡터는 서로 수직이에요, 즉 사이각도가 90도에요

그리고 내적해서 나온 값이 0보다 작으면, 두 벡터는 서로 반대방향이에요, 즉 사이의 각도가 90도를 넘어가요 

13. 내적을 통한 수직벡터 구하기

그리고 위에서 설명한 벡터의 내적을 통한 방향판별을 사용해서 특정 방향으로의 수직벡터를 구할수 있어요

위의 그림처럼 파랑색 벡터 (x,y)에서 초로색 벡터 방향으로의 수직벡터를 찾고 싶으면

벡터(x,y)의 두가지 수직벡터인 (-y,x) (y,-x)중에서, 초록색 벡터와 내적했을때 그 값이 +가 나오는 벡터를 찾으면 되요

그럼 그 벡터는 초록색 벡터와 같은 방향이라는게 되니까, 결국 초록색 벡터 방향의 수직벡터가 되는거에요

14. 투영벡터 구하기

 

위의 그림처럼 벡터 a를 벡터 b방향으로 투영한 벡터d를 구하려면

우선 벡터 b를 정규화해야되요, 그러면 벡터b와 같은방향의 단위벡터인 벡터c가 나와요

그리고 벡터 a와 그렇게 나온 단위벡터 c를 내적하면, 벡터 d의 길이가 나와요

그리고 그렇게 얻은 벡터 d의 길이를 해당 방향의 단위벡터인 c에 다시 곱해주면

최종적으로 벡터 d를 얻을수 있어요

15. 점과 직선 사이의 거리 구하기

위의 그림처럼 점(x1,y1) (x2,y2)를 이어주는 직선과 점(x3,y3)사이의 최소거리를 구하려면

우선 두번째 그림처럼 (x2,y2)에서 (x1,y1)을 빼고, (x3,y3)에서 (x1,y1)을 빼서 두개의 벡터를 얻어야해요

그런다음 앞에서 설명한 투영벡터의 길이를 구하는 방법을 통해서, 세번째 그림처럼 벡터 a를 해당 방향으로 투영한 벡터b를 구하고

마지막으로 벡터 b에서 a를 빼면 위의 4번째 그림에서 보라색으로 나와있는 벡터를 얻을수 있어요

그리고 그 보라색 벡터의 길이가, 맨 처음의 점과 직선 사이의 최소거리에요

16. 점을 직선에 대칭이동시킨 위치 구하기

그리고 앞의 점과 직선의 거리를 구하는 방법을 통해 얻은 벡터를, 원래의 점에 두번 더해주면

점을 해당 직선을 기준으로 대칭이동시킨 위치를 얻을수 있어요, 위의 그림에서 주황색 점이 파랑색 점을 직선을 기준으로 대칭이동시킨 위치고

보라색 벡터는 파랑색 점과 해당 직선 사이의 벡터에요

17. 원과 선분의 접점 구하기

위의 그림은 선분과 원이 충돌할때의 접점을 구하는 방법이에요

우선 선분을 파랑색 벡터로 바라본다음, 선분의 시작점에서 원의 중심까지의 하늘색 벡터를 파랑색 벡터에 투영해서

초록색 벡터를 얻어요, 여기에는 앞에서 설명한 투영벡터를 구하는 방법이 사용되요

그런다음 앞에서 설명한 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 이용해서

원의 중심에서 파랑 벡터까지의 벡터인 주황색 벡터를 얻어요, 위에서 구한 초록색 벡터에서 하늘색 벡터를 빼면 되요

그러면 보라색은 원의 반지름이니까, 삼각형의 피타고라스 정리인 a^2+b^2=c^2를 이용해서

보라색 길이의 제곱에서, 주황색 길이의 제곱을 뺀 값에 루트를 하면, 위의 그림에서 빨강색으로 나와있는 길이를 얻을수 있어요

그리고 최종적으로 초록색 벡터의 길이에서 빨강색 벡터의 길이를 빼면, 위의 그림에서 분홍색으로 나와있는 길이를 얻을수 있어요,

그리고 선분의 출발지점에서 선분과 같은 방향(각도)로 분홍색 길이만큼 떨어진 지점이 선분과 원의 접점이에요

18. 반사벡터 구하기

위의 그림은 반사벡터를 구하는 방법에 대한 그림이에요

그림의 첫번째에서, 파랑색 벡터가 검은색 직선에 반사되었을때의 반사벡터인 주황색 벡터를 구하는 방법은

우선 그림의 두번째처럼 파랑색 벡터와 반대방향의 벡터인 초록색 벡터를 구하고

앞의 수직인 벡터를 구하는 방법을 사용해서 검은색 직선에서 초록색 벡터 방향으로 수직인 하늘색 벡터를 구한다음

앞에서 설명한 투영벡터의 길이를 구하는 방법을 사용해서 초록색 벡터를 하늘색 벡터 방향으로 투영한 벡터인 보라색 벡터를 얻어요

그리고 그런다음 그림의 세번째에 나와있는것처럼

원래 벡터인 파랑색 벡터에, 그렇게 얻은 보라색 벡터를 두번 더해주면

최종적으로 파랑색 벡터의 반사벡터인 주황색 벡터를 얻을수 있어요

세번째 그림에서 분홍색 벡터는 파랑색 벡터와 동일한 벡터에요

19. 벡터의 사이각도 구하기

위의 그림에서 왼쪽의 네번째줄에 나와있는것처럼

벡터 a와 벡터b를 내적한 값은, 벡터a의 길이와 벡터b의 길이를 곱한 값에, 두 벡터가 이루는 각도인 c의 삼각함수 코사인값 cos(c)를 곱한 값과 동일해요

dist(a)는 a의 길이라는 뜻이에요

그리고 앞에서 설명한것처럼, 벡터a가 (a1,a2) 벡터 b가(b1,b2)일때, 벡터a와 벡터b의 내적은 a1*b1+a2*b2에요, 이게 첫번째에서 세번째 줄 까지의 내용이에요

그리고 이 두개를 합치면 5번째 줄이 나오고

그걸 코사인을 왼쪽에 남겨두는 식으로 정리하면 최종적으로 6번째 줄이 나와요,

즉 그 값에 코사인의 역함수인 아크코사인(arccos)을 적용하면 두 벡터의 사이의 각도를 구할수 있어요

그렇게해서 나온게 오른쪽의 첫번째 줄이에요, 벡터 a와 b사이의 각도는, 두 벡터의 내적값을 두 벡터의 길이를 곱한 값으로 나눈 값에

아크코사인을 적용하면 얻을수 있어요

그리고 오른쪽의 두번째 줄은, 두 벡터가 단위벡터일 경우에요, 이때 두 벡터의 길이는 1이기 때문에, 두 벡터의 길이를 곱한 값으로 나누는 부분을 생략할수 있어요

그리고 세번째 줄은 두 벡터가 아니라 두 각도a와 b로 주어졌을때의 경우에요,

그리고 이때 극좌표계에서 a각도로 r만큼의 거리로 떨어진 지점의 좌표는 r*cos(a), r*sin(a)라는걸 이용해서

두 각도를 두개의 단위벡터로 만들어서 두번째줄에 적용한거에요

그리고 이렇게 얻어진 사이의 각도는

+방향인지 -방향인지는 알 수 없어요

즉 사이의 각도를 얻는다고 해도, 그게 시계반대방향의 +방향인지, 아니면 시계방향의 -방향인지는 알 수 없어요

20. 벡터의 외적

벡터의 외적은 두개의 3차원 벡터, 즉 x, y, z좌표를 가진 벡터 사이에 적용되는 연산법이에요

그리고 위의 그림에서처럼 벡터a가 (a1,a2,a3)이고 벡터b가 (b1,b2,b3)일때

두 벡터의 외적은 (a2*b3-a3*b2, a3*b1-a1*b3, a1*b2-a2*b1)가 되요

그리고 이때 두 벡터의 외적을 통해서 나온 벡터는, 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 방향의 벡터에요

그리고 평면에 수직인 두개의 방향중에서 어떤 방향으로 나오는지는, 위의 그림에 나와있는대로에요

즉, 그림의 첫번째처럼 b가 a의 +각도 방향에 있으면, 두 벡터의 외적도 평면에서 수직인 두가지 방향중 +방향으로 나오고

두번째처럼 b가 a의 -각도 방향에 있으면, 두 벡터를 외적해서 나온 벡터 역시 평면에서 수직인 두가지 방향중에 -방향으로 나와요

21. 벡터의 외적을 통한 두 벡터의 방향판별

그리고 두개의 2차원 벡터가 주어졌을때

각각의 벡터를 z좌표가 0인 3차원 벡터로 바라보면

두개의 벡터의 외적을 통해서 두 벡터가 이루는 방향을 구할수 있어요

위의 그림의 윗부분에 나와있는것처럼

벡터 a가 (a1, a2, 0)이고 벡터b가 (b1, b2, 0) 이라면

두 벡터의 외적은 a3 b3이 각각 0이니까

결국 (0, 0, a1*b2-a2*b1)이 되요

그리고 이때 이렇게 나온 a1*b2-a2*b1의 값이 +인지 -인지를 통해서, 두 벡터가 이루는 방향을 구할수 있어요

앞에서 설명한대로 b벡터가 a벡터에서 +방향에 있으면, 두 벡터의 외적으로 나오는 벡터의 z좌표도 +방향이고

b벡터가 a벡터에서 -방향에 있으면, 역시 두 벡터의 외적으로 나오는 벡터의 z좌표도 -방향이니까

즉, a1*b2-a2*b1가 +값이라면 b벡터는 a벡터의 +방향에 있는게 되고, a1*b2-a2*b1가 -값이라면, b벡터는 a벡터의 -방향에 있는게 되는거에요

22. CCW알고리즘

CCW알고리즘은, 위의 벡터의 외적을 통한 방향판별을

두개의 벡터가 아닌, 세 점의 좌표가 주어졌을 경우로 변경한거에요

만약 위의 그림처럼 세 점(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)이 주어졌다면

이때 2점에서 1점을빼서 1점에서 2점을 향하는 벡터a를 얻고

마찬가지로 3점에서 1점을 빼서 1점에서 3점을 향하는 벡터b를 얻을수 있으니까

이렇게 얻은 두개의 벡터에 앞에서 설명한 외적을 통한 방향판별을 적용할수 있어요

이때 a벡터는 위의 그림처럼 (x2-x1), (y2-y1), 0 이고

b벡터는 (x3-x1), (y3-y1), 0 이니까

이 두 벡터의 외적으로 나오는 벡터는 0, 0, (x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1) 이 되고

여기서 세번째를 풀어서 정리하면 최종적으로 (x1*y2+x2*y3+x3*y1)-(y1*x2+y2*x3+y3*x1)이 나와요

따라서 이 (x1*y2+x2*y3+x3*y1)-(y1*x2+y2*x3+y3*x1)의 값이 0보다 크면

위의 그림의 첫번째처럼 세 점은 반시계방향(+방향)에 있다는게 되요

그리고 0보다 작으면 세 점은 두번째처럼 시계방향(-방향)에 있는거고

만약 0이라면 세번째처럼 직선상에 있는거에요

이게 CCW알고리즘이에요

23. CCW알고리즘을 사용한 두 선분의 교차판별

CCW알고리즘을 사용해서 두 선분이 교차하는지 판별할수 있어요

위의 그림처럼 점 1234가 이루는 두개의 선분이 있을때

만약 두 선분이 교차한다면, 점12가 이루는 선분을 기준으로, 점3과 점4의 방향은 서로 반대여야 해요,

즉 점1 점2 점3 순서로 CCW알고리즘을 진행한 값과 점1 점2 점4순서로 CCW알고리즘을 진행한 값의 부호는 서로 반대여야 해요,

즉, 두 값을 곱했을때 0보다 작아야 해요,

그리고 마찬가지로 점3 점4 기준으로도 점3 점4 점1 순서로 CCW알고리즘을 진행한 값과 점3 점4 점2 순서로 CCW알고리즘을 진행한 값을 곱했을때 0보다 작아야하고

즉, 최종적으로 위의 두 조건을 모두 만족하면, 즉 점1 점2 기준으로 점3과 점4가 서로 반대방향이고, 동시에 점3 점4 기준으로도 점1과 점2가 서로 반대방향이라면

두 선분은 한 점에서 교차한다고 판정해요

24. CCW알고리즘을 사용한 삼각형 내부와 외부의 판별

CCW알고리즘을 사용해서 특정 점이 삼각형 내부에 있는지 외부에 있는지를 판별할수 있어요

위의 그림처럼 점 123이 이루고 있는 삼각형과 점 4가 있을때

만약 점4가 삼각형 내부에 있다면, 점124 234 314순서로 CCW알고리즘을 진행했을때 그 값의 부호가 모두 동일하게 나와요

즉, 점이 삼각형 내부에 있다면

만약 삼각형의 꼭짓점이 왼쪽처럼 반시계방향으로 주어졌다면 모든 값이+로 동일하게 나오고 

오른쪽처럼 시계방향으로 주어졌다면 모든 값이-로 나와요

즉, 삼각형의 세개의 모서리를 기준으로 주어진 점이 모든 경우에서 같은 방향에 있는거에요

25. 벡터의 외적을 사용한 수직벡터 구하기

위의 그림처럼 벡터 A와 B가 주어졌을때

벡터 A에서 B방향으로 수직인 벡터C를 구하기 위해서는

벡터A와B의 외적을 다시 벡터A와 외적하면 되요

그러면 벡터 A의 B방향으로의 수직인 벡터인C를 얻을수 있어요

즉, 위의 그림의 첫번째줄에 나와있는것처럼 C는 (A X B) X A 에요, 여기서 X는 외적이라는 뜻이에요

만약 위의 그림의 왼쪽처럼 B가+방향이라면 C도 +방향으로 수직인 벡터가 나오고, 오른쪽처럼 B가 -방향이라면 C도 -방향으로 수직인 벡터가 나와요

만약 A와 B가 z좌표가 0인 벡터들이라면

A와 B를 외적하면, 두 벡터의 방향에 따라서 xy는 0이고 z축으로 +또는 -인 벡터가 나오고

그 벡터를 다시 A와 외적하니까, 최종적으로는 다시 z가 0인 xy평면상의 벡터가 나오게 되는거에요

그리고 만약 B가 그림의 왼쪽처럼 +방향이라면 이렇게 나오는 벡터 역시 z가 +인 벡터를 외적하는거니까 +방향의 벡터가 나오고

B가 그림의 오른쪽처럼 -방향이라면, 이렇게 나오는 벡터 역시 z가 -방향인 벡터를 외적하는거니까 -방향의 벡터가 나오게 되요

그리고 이때 이 연산은

벡터의 삼중곱 공식을 이용해서 그림의 두번째 줄 처럼 단순화시킬수 있어요

벡터의 삼중곱 공식은 그림의 세번째 줄에 나와있는 공식이에요, 벡터의 외적을 벡터의 내적과 곱셈으로 단순화 시킬수 있는 공식이에요

그리고 위의 그림은 B벡터에서 A벡터와 반대방향으로 수직인 벡터를 구하는 방법이에요

여기서는 앞과는 다르게 (A X B) X B를 해요, 즉 A와 B를 외적해서 나온 벡터를 B와 다시 외적하는거에요

이렇게하면 만약 위의 그림의 첫번째처럼 B가 A의 +방향에 있다면, 역시 B에서 +방향으로 수직인 벡터 C가 나오고

B가 A의 -방향에 있다면, 역시 B에서 -방향으로 수직인 벡터 C가 나와요

그리고 나머지 과정은 모두 위의 설명과 동일해요

[WWS(clip1446)]

[사랑맛쿠키(mkk2100)]

[검은고양0I(bracelet1805)]

감사합니다 유니티 감사합니다 언리얼 저런거 계산 덜해도 괜찮게 해주셔서.

[익명(58.29)]

[거미똥(ggumiddong1928)]

엔진은 신이다 - dc App

[ㅇㅇ 1(110.76)]

벡터가 선분이라니 나 고등학교 때 선생이 들으면 기절하겠군

[ㅇㅇ 2(61.109)]

내적 전까지는 이해했슴니다 선생님...