[📚정보] 오일러 각 회전공식 & 사원수 회전공식

1.오일러 각 회전공식

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

def vector_turn(x1,y1,a)

x2=x1*Math.cos(a)-y1*Math.sin(a)

y2=x1*Math.sin(a)+y1*Math.cos(a)

return x2,y2

end

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

위의 공식이 벡터의 회전공식이에요, ruby 프로그래밍 언어로 작성한거에요

즉 벡터 x1,y1을 원점(0,0)을 기준으로 a만큼의 각도로 회전시킨 벡터 x2,y2는

x2=x1*cos(a)-y1*sin(a)

y2=x1*sin(a)+y1*cos(a)

가 되는거에요

그리고 앞의 공식은 결국 점 x,y 를 z축을 기준으로 회전시킨거라고 바라볼수도 있어요

즉, 앞의 공식에 xz를 대입하면 동일한 방식으로 점 x,z 를 y축으로 회전시킬수 있고

yz를 대입하면 점 yz를 x축을 기준으로 회전시킬수 있어요

그리고 이렇게 x y z의 특정한 축을 기준으로 점을 회전시키는 방식이 오일러 각 회전이에요

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

def turn_3d(x1,y1,z1,an,ax)

if ax == 1

y2,z2=vector_turn(y1,z1,an)

return x1,y2,z2

end

if ax == 2

x2,z2=vector_turn(x1,z1,an)

return x2,y1,z2

end

if ax == 3

x2,y2=vector_turn(x1,y1,an)

return x2,y2,z1

end

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

위의 함수가 해당 방식으로 점을 회전시키는 함수에요

x1,y1,z1에 회전시키려는 점의 좌표를 입력하고,

an에 회전시키려는 각도를 입력하고

ax에 x축이 기준이면 1, y축이 기준이면 2, z축이 기준이면 3을 입력하면 되요

그렇게 하면 해당 축을 기준으로 해당 각도만큼 회전시킨 점의 좌표를 출력해줘요

2. 사원수 회전공식

사원수는 a+b*i+c*j+d*k의 형식으로 표현되는 수에요

이때 a가 실수부고, 뒤의 i j k 부분이 허수부에요

그리고 점 x,y,z를, 회전시키는 축이 되는 길이가 1인 단위벡터인 ax, ay, az를 기준으로, t의 각도만큼 회전시킨 점을 구하려면

우선

q = sin(t/2)+cos(t/2)*ax*i+cos(t/2)*ay*j+cos(t/2)*az*k

p= 0, x*i+y*j+z*k

이렇게 두개의 사원수를 만들어야 해요

이때 q는 사원수의 실수부분에 sin(t/2)를 넣고, 허수부분의 i j k 전체에 cos(t/2)를 곱하고, 다시 허수부분의 i j k 에 각각 축이되는 길이가 1인 단위벡터의 좌표인 ax ay az 를 곱한 수에요

그리고 p는 사원수의 실수부분은 0으로 두고, 허수부분에는 각각 회전시키려는 점의 좌표인 x,y,z을 곱한 수에요

그리고 사원수 q의 켤레사원수인 (-q)를 만들어야 해요

켤레사원수는 실수부분의 부호는 그대로고 허수부분의 부호만 반대로 바꾼 사원수에요

즉

(-q) = sin(t/2)-cos(t/2)*ax*i-cos(t/2)*ay*j-cos(t/2)*az*k

가 되요

그리고 그렇게 만든 세개의 사원수로

q*p*(-q)

위의 순서대로 사원수의 곱셈을 실행하면 되요, 즉 사원수 q에 p를 곱하고, 그렇게 나온 사원수에 다시 사원수 q의 켤레사원수인 (-q)를 곱하면 되요

이때 앞뒤의 순서를 바꾸면 값이 달라져서 다른 값이 나오게 되요

그렇게 하면 최종적으로 실수부가 0인 (0+b*i+c*j+d*k)형태의 사원수가 나오게 되는데

이때 b c d 의 값이 각각 최종적으로 회전시켜서 나온 점의 x y z 좌표가 되는거에요

그리고 이때 사원수의 곱셈에는 해밀턴 곱셈(Hamilton product)이 이용되요

해밀턴 곱셈은, 두 사원수 (a1+b1*i+c1*j+d1*k) 와 (a2+b2*i+c2*j+d2*k)를 곱하면

그 값은

a1*a2-b1*b2-c1*c2-d1*d2+

(a1*b2+b1*a2+c1*d2-d1*c2)*i+

(a1*c2-b1*d2+c1*a2+d1*b2)*j+

(a1*d2+b1*c2-c1*b2+d1*a2)*k

가 된다는 거에요

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

def hp(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)

return a1*a2-b1*b2-c1*c2-d1*d2, a1*b2+b1*a2+c1*d2-d1*c2, a1*c2-b1*d2+c1*a2+d1*b2, a1*d2+b1*c2-c1*b2+d1*a2

end

def qturn(x,y,z,ax,ay,az,t)

n,m = Math.cos(t/2.0), Math.sin(t/2.0)

a1,b1,c1,d1 = n, m*ax, m*ay, m*az

a2,b2,c2,d2 = 0, x,y,z

a1,b1,c1,d1 = hp(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)

a2,b2,c2,d2 = n, -m*ax, -m*ay, -m*az

a1,b1,c1,d1 = hp(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)

return b1,c1,d1

end

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

그리고 위의 코드가 그렇게 사원수의 회전을 실행하는 코드에요

첫번째는 헤밀턴 곱셈의 함수고 두번째가 실제로 점을 회전시키는 함수에요

두번째 함수의 x,y,z에 회전시킬 점의 좌표를 입력하고, ax, ay, az에 축으로 할 길이가 1인 단위벡터의 좌표를 입력하고, t에 회전시킬 각도를 입력하면 되요

그렇게하면 최종적으로 점을 회전시켜서 나온 x y z 좌표가 출력되게 되요

[📚정보] 오일러 각 회전공식 & 사원수 회전공식

댓글 5

다른 게시글