[📚정보] xyz 좌표계에서의 벡터의 활용

[vertex(4321vertex)]

1.벡터의 내적

위의 그림이 벡터의 내적의 공식이에요

두 벡터의 내적은, 두 벡터의 x값과 y값과 z값을 서로 곱하고, 그렇게 나온 세개의 값들을 모두 더한거에요,

즉 두 벡터의 내적으로 나온 값은 하나의 수인 값(스칼라)으로 나오게 되요

2. 벡터의 내적을 통한 두 벡터의 방향판별

위의 그림처럼 두 벡터를 내적해서 나온 값이

0보다 크면 두 벡터의 사이의 각은 예각이고,

0이면 두 벡터는 수직이고,

0보다 작으면 두 벡터 사이의 각은 둔각이에요

3. 벡터의 내적을 통한 투영벡터 구하기

위의 그림처럼 벡터 b를 정규화해서 길이가 1인 단위벡터인 c로 만들고

그 다음 a와 c를 내적하면, a를 c 방향으로 투영한 벡터인 d의 길이를 구할수 있어요

그리고 이때 만약 길이가 +로 나온다면 벡터 a와 c는 같은 방향에 있는거고

-로 나온다면 a와 c는 서로 다른 방향에 있는거에요

벡터의 정규화는, 특정한 벡터를 방향은 동일하게 유지하면서 길이가 1인 단위벡터로 만드는거에요

그리고 그러려면 벡터의 길이를 구하는 공식인 ( (x^2)+(y^2)+(z^2) )^0.5 를 활용해서 벡터의 길이를 구하고

그렇게 구한 길이로 벡터의 각각의 x y z 값을 나눠주면 되요

4. 벡터의 외적

위의 그림이 벡터의 외적의 공식이에요

그리고 두 벡터인 a와 b를 내적해서 나온 벡터인 c는 벡터 a와 b 둘 다에 수직인 방향으로

그림의 왼쪽처럼 b가 a를 기준으로 +각도 방향으로 회전한 위치에 있을때 위쪽으로 나오게 되요

즉 그림의 오른쪽처럼 b가 a를 기준으로 -방향으로 회전한 위치에 있다면 아래쪽으로 나오게 되요

5. 벡터의 외적을 통한 평면의 법선벡터 구하기

평면의 법선벡터는 평면으로부터 수직인 방향의 벡터에요

그리고 위의 그림처럼 +방향인 시계방향으로 평면의 세 점이 주어졌을때 평면의 법선벡터를 구하려면

우선 2점에서 1점까지의 벡터인 1벡터와, 2점에서 3점까지의 벡터인 3벡터를 구한다음, 두 벡터를 외적하면

2벡터가 1벡터 기준으로 시계방향인 +방향에 있으니까, 최종적으로 평면에 위쪽으로 수직 방향의 벡터인 3벡터를 구할수 있어요

6. 평면의 법선벡터와의 내적을 통한 방향판별

위의 그림처럼 평면위의 한 점인 x1,y1,z1과 해당 평면의 법선벡터인 vx, vy, vz가 주어져 있을 때

만약 1점에서 2점까지의 벡터와, 평면의 법선벡터를 내적한 값이 +가 나온다면, 그림의 중간처럼 2점은 평면을 기준으로 법선벡터가 향하는 방향쪽에 있는거에요

반면 -가 나온다면, 그림의 오른쪽처럼 2점은 평면을 기준으로 법선벡터가 향하는 방향과 반대 방향에 있는거에요

그리고 이때 해당 평면의 법선벡터가 길이가 1인 단위벡터로 정규화되어있으면, 그렇게 두 벡터를 내적해서 나온 값은 2점과 평면 사이의 거리가 되요, 만약 그 값이 +라면 2점은 평면의 법선벡터쪽 방향에 있는거고, -라면 2점은 평면의 법선벡터와 반대방향에 있는거에요

7. 다면체에 한 점이 포함되는지 구하기

위의 그림처럼 특정한 다면체가 있고, 한 점이 주어져 있을때

만약 해당 점이 다면체의 내부에 포함된다면, 해당 점은 다면체의 모든 면들을 기준으로, 해당 평면에서의 다면체 밖을 향하는 방향으로의 법선벡터와 서로 반대방향에 있어야 해요

즉 다면체의 각각의 면별로 해당 면의 꼭짓점들의 좌표를 다면체의 밖에서 바라볼때 시계방향이 되는 순서로 배열해서, 다면체의 밖을 향하는 방향으로의 법선벡터를 구하고,

그렇게 구한 법선벡터와, 다면체의 해당 면의 꼭짓점들중 하나에서 다면체의 내부에 포함되는지를 판별하려는 점 까지의 벡터를 구한다음, 두 벡터를 내적했을때 그 값이 -가 나와야되요

그리고 다면체의 모든 면들을 기준으로 그렇게 -가 나오게 되면, 최종적으로 점은 해당 다면체에 포함된다고 여기는거에요

그리고 이때 다면체는 볼록 다면체여야 해요

8. 특정한 면의 수직 범위에 점이 포함되는지 구하기

위의 그림처럼 xyz 좌표상에 특정한 평면이 주어져 있을때, 해당 평면에서 위아래로 수직으로 확장시킨 영역에 특정한 점이 포함되려면

해당 점은 평면을 수직으로 확장시켰을때 나오는 모든 가장자리면들에서, 해당 가장자리면에서 평면의 바깥 방향으로 향하는 법선벡터와 서로 반대 방향에 있어야 해요

즉 평면의 하나의 모서리에서의 두개의 꼭짓점과, 평면의 법선벡터를 활용해서, 평면의 수직으로 확장시킨 영역의 하나의 가장자리면에서의 바깥쪽 방향으로의 법선벡터를 구하고

그렇게 구한 법선벡터와, 해당 모서리의 점들중 하나에서 수직 영역 내부에 포함되는지를 구하려는 점까지의 벡터를 내적했을때 그 값이 -가 나와야 되요

그리고 그런식으로 모든 가장자리면들에서 -값이 나오면, 최종적으로 해당 점은 평면을 수직으로 확장시킨 범위 내부에 있다고 판별하는거에요

그리고 이때 평면은 볼록 다각형이여야 해요