[📚정보] 평면의 방정식의 활용

1.평면의 방정식

위의 그림처럼 평면위의 한 점과, 평면의 법선벡터가 주어져 있을 때, 해당 평면의 방정식을 구할수 있어요

평면의 법선벡터는 평면으로부터 수직인 벡터에요, 평면 위의 세 점의 좌표를 통해서 두개의 벡터를 만들고, 두 벡터를 외적하면 구할수 있어요

위의 그림은 평면의 방정식을 구하는 방법이에요

평면위의 점인 x1,y1,z1 에서 평면위의 임의의 점인 x,y,z 까지의 벡터는 (x-x1),(y-y1),(z-z1)이고

해당 벡터를 평면의 법선벡터와 내적하면 서로 수직여어서 그 값은 0이 되니까, 해당 공식을 정리하면 평면의 방정식을 얻을수 있어요

2.평면과 점의 방향 판별

위의 그림처럼 한 점을 지나고 특정한 법선벡터를 가지는 평면의 방정식이 주어져 있을 때

특정한 점의 좌표를 해당 평면의 방정식에 대입해서 나온 값이 0보다 크면, 그림의 아래의 왼쪽처럼 점은 평면을 기준으로 법선벡터 방향에 있는거고

0보다 작으면, 그림의 아래의 오른쪽처럼 점은 평면을 기준으로 법선벡터의 반대방향에 있는거에요

3. 직선의 매개변수 방정식

위의 그림에서 왼쪽은 직선의 한 점과 해당 직선의 방향벡터가 주어졌을때의, 직선의 매개변수 방정식이에요

그리고 오른쪽은 두 점의 좌표가 주어졌을때의 직선의 매개변수 방정식이에요, 두 점의 좌표로 해당 직선의 방향벡터를 구한거에요

4.평면과 직선의 교점의 좌표 구하기

위의 그림처럼 평면의 방정식과 직선의 매개변수 방정식이 주어져 있을 때

직선의 매개변수 방정식을 평면의 방정식에 대입해서 t값을 구하고

그렇게 구한 t값을 다시 처음의 직선의 매개변수 방정식에 대입하면, 직선의 평면과의 교점을 구할수 있어요

단 이때 직선과 평면이 평행한 경우라면, 즉 평면의 법선벡터와 직선의 방향벡터가 서로 수직이면 교점이 존재하지 않아서 구할수 없어요

5. 특정한 면과 선분이 교차하는지 구하기

위의 그림처럼 특정한 꼭짓점들로 이루어진 면과, 특정한 양 끝 점을 가지는 선분이 교차하려면

우선 앞에서 말한 방법대로 해당 면이 포함된 평면과, 해당 선분이 포함된 직선의 교점의 좌표를 구했을 때

그렇게 구한 교점의 좌표가, 첫번째로는 평면의 범위 내부에 포함되어야 하고, 두번째로는 선분의 범위 내부에 포함되어야 해요

그리고 교점의 좌표가 평면의 범위에 포함되는지 구하려면, 위의 글에서 8번에 나와있는 방법을 활용하면 되요, 즉 평변의 위아래로 수직의 영역에 해당 점이 포함되는지를 구하면 되요, 즉 평면이 볼록다각형일 경우에만 구할수 있어요

그리고 교점의 좌표가 선분에 포함되는지를 구하려면 위에 나와있는것처럼, 선분의 양 끝 점에서 교점까지의 두개의 벡터가 서로 반대방향에 있는지를 구하면 되요, 즉 두 벡터를 내적했을때 그 값이 0보다 작아야해요

6. 두 면이 교차하는지 구하기

위의 그림처럼 특정한 꼭짓점들로 이루어진 두개의 면들이 있을때

만약 두 면이 서로 교차한다면, 하나의 면의 모서리가 다른 면의 모서리와 교차해야 해요

즉 4-5, 5-6, 6-4의 모서리가 123의 면과 교차하거나

1-2, 2-3, 3-1의 모서리가 456의 면과 교차해야해요

그리고 그렇게 모서리가 면과 교차하는지는 앞에서 설명한 선분과 면이 교차하는지를 구하는 방법으로 구할수 있어요

즉, 여기서 두개의 면은 볼록다각형 형태여야 해요

7. 두 다면체가 충돌하는지 구하기

두 다면체가 충돌하는 경우는 두가지에요

첫번째는 두 다면체의 표면이 서로 교차하는 경우에요

그리고 두번째는 한 다면체가 다른 다면체 안에 표면이 교차하지 않고 완전히 포함되는 경우에요

그리고 이때 두 다면체의 표면이 교차하는지는, 앞에서 설명한 두 면이 교차하는지를 체크하는 방법으로 구할수 있어요

그리고 이 과정은, 하나의 다면체의 표면들에 다른 다면체의 모서리가 교차하는지를 체크하는 방식으로 간소화할수 있어요,

즉 1234 다면체의 4개의 면 각각마다 5678 다면체의 6개의 모서리가 충돌하는지를 체크하고,

반대로 5678 다면체의 4개의 면 각각마다 1234 다면체의 6개의 모서리가 충돌하는지를 체크하면 되요

그리고 한 다면체가 다른 다면체 속에 완전히 포함되는지는, 한 다면체의 하나의 꼭짓점이 다른 다면체 내부에 포함되어 있는지를 체크하면 되요

즉 1234 다면체의 하나의 꼭짓점이 5678 다면체에 포함되어 있거나, 5678 다면체의 하나의 꼭짓점이 1234 다면체에 포함되어 있는지를 체크하면 되요

그리고 그렇게 다면체 속에 하나의 점이 포함되어 있는지를 체크하는 방법은, 앞에 올려놓은 글의 7번에 나와있어요

즉, 여기서 충돌을 체크하려는 두 다면체는 볼록다면체여야 해요

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