[📚정보] 몬티홀 문제 직관적으로 이해해보자

[닥터휴버트(drhubert)]

요즘 많이 보고 있는 넷플릭스 드라마 D.P에서 몬티홀 문제가 나와서 어떻게 설명할지 기대하고 있었는데

드라마에서 그 원리 자체가 그렇게 중요한건 아니라 그런지 뭐라고 애기하는지 이해가 안가더라고.

인디갤에 어울릴지 모르겠지만 여기랑 점갤에서만 활동하고 게임에도 확률이 많이 나오니까 소개하면 좋을 것 같아서

예전에 공부했던 내용을 다시 정리하는 겸, 몬티홀 문제를 소개해볼까 함.

1. 일단 몬티홀 문제란 무엇인가?

다들 어떤 문제인지는 알고 있겠지만 그래도 어떤 문제인지 먼저 설명하는게 좋을 것 같애.

이렇게 1개의 당첨카드(코인)과 2개의 꽝카드(해골)가 있을 때

이것을 뒤집은 다음에 섞어.

여기서 당첨일거라고 생각되는 카드를 한장 골라

가령 위 그림과 같이 가장 왼쪽에 있는 카드를 선택하면,

사회자(딜러)는 나머지 두 카드중에 꽝인 카드를 보여줘.

그리고 사회자는 너에게 물어보는거야, 선택한 카드를 바꿀래? 안바꿀래?

이 때, 당첨 확률은 바꾸는 것이 높을까? 아니면 바꾸든 바꾸지 않든 확률을 같을까? 라고 묻는 것이 몬티홀 문제야.

다들 알다시피

바꾸면 당첨될 확률이 2/3, 바꾸지 않으면 당첨될 확률이 1/3로 "바꾼다."가 정답

2. 직관적인 설명

그럼 왜 바꾸면 더 당첨될 확률이 높아지는걸까?

먼저, 바꾸지 않으면 그냥 게임이 한번 고르고 끝나는 거니까 3개의 카드 중 당첨인 카드는 하나만 있으니 1/3.

문제는 바꾼다를 선택했을 때 왜 확률이 2/3가 되냐인데..

사회자가 나머지 2장의 카드에서 꽝인 카드를 보여준다는 의미가 무엇일까?

그 의미는, 당첨인 카드를 1장, 꽝인 카드를 각각 1장씩만 남긴다는 의미야.(총 2장)

그러니까,

먼저 고른 카드가 당첨인 경우, 바꾼다를 선택하면 반드시 꽝이되고

먼저 고른 카드가 꽝인 경우, 바꾼다를 선택하면 반드시 당첨이 되는 상황으로 만드는 거야.

이것의 효과는 처음 선택할 때 꽝을 고를 확률(2/3)이 당첨이 될 확률로 역전되는거지.

따라서 바꾸지 않으면 당첨될 확률이 1/3, 바꾸면 당첨될 확률이 2/3가 되서 바꾸는게 유리하다는 결론.

3. 실제 그러한지 경우의 수를 살펴보자.

바꾼다, 바꾸지 않는다를 선택하기 전 우리가 고를 수 있는 경우의 수는 당첨이 A, B, C 3가지중 하나고 선택할 수 있는 것도 A, B, C의 3가지 경우니까

총 9가지 경우가 발생하는데

각각의 9가지의 경우에서

바꾸지 않았을 때 당첨인 경우는 3/9 => 1/3

바꿨을 때 당첨인 경우는 6/9 => 2/3

나열해보면 바꿨을 때의 경우가 당첨이 될 확률이 커진다는 것을 알 수 있어.

몬티홀 문제를 나름대로 설명해봤는데 잘 전달이 되었을지 모르겠네.

공부한 것들을 스스로 정리하고 설명하는게 도움이 되서 종종 요런 것들을 설명할 기회가 또 있으면 좋겠다.

[익명(221.146)]

이거 ㅈㄴ 오래된건데 예전에 무슨 영화였나 어디서 봤던 기억이 나네

[닥터휴버트(drhubert)]

워낙 유명한 문제라 ㅎ, D.P에 나오더라.

[익명(221.146)]

난 이거 한 10년쯤전에 뭔 천재나오는 영화에서 본 것 같음

[익명(221.146)]

난 그냥 이렇게 이해했는데 걍 안바꿨을 때 당첨되려면 처음에 당첨카드를 골랐을 확률인 1/3 이잖아. 그니까 반대로 바꿨을 때 당첨될 확률은 2/3 인거지 끝 아니냐? 예전에 처음 봤을 때도 걍 이렇게 생각하고 넘어갔었는데. 무슨 설명같은거 보니까 ㅈㄴ 복잡하게 설명하더라

[닥터휴버트(drhubert)]

바꿨을 때 당첨/꽝 여부가 바뀐다는 걸 이해하면 바로 직관적으로 이해할 수 있을것 같애

[익명(221.146)]

그것보다 걍 안바꿨을 때 당첨되려면 처음 당첨카드 고를 확률 1/3 이것만 생각하면 다 끝나는 건데 뭘 바꾸니 보여주니 이런 의미없는 것들에 집중하니까 이해 안되는거 같음 예전에도 이거에 대한 뭔설명들 복잡해서 뭔 개소리야 하고 꺼버린 기억이 있네

[익명(222.99)]

그림은 뭐로 그린거냐

[닥터휴버트(drhubert)]

점갤 메인 프로그램, Aseprite

[익명(27.126)]

숲들좌가 문 1000개로 설명한게 이해 젤잘됐음. 문을 998개나 열었는데 내가 처음에 고른게 당첨일리가 잖아

[엘제에(purple8cloud)]

무조건 바꾼다는 전제하에 생각하면 꽝을 뽑으면 당첨되는거니까