[💬] 신기한 미분방정식

[地鬼(dczlatan)]

엔진이 차를 미는 힘을 Fe 라고 하고, 공기에 의한 저항을 Fd 라고 하면

차에 작용하는 전체 힘 F = Fe - Fd 라고 할 수 있겠지?

Fe 는 그냥 상수라고 가정하고 Fd 는 어떤 상수 C와 차의 속도의 제곱의 곱이라고 하면 Fd = C*v^2 라고 할 수 있다.

그럼 F = Fe - C*v^2 이 된다.

여기서 미지수는 v...

이 식의 골때리는 점은 차에 작용하는 전체 힘 F를 알려면 속도 v를 알아야하는데, v를 알려면 힘을 알아야 됨. 즉, v는 F에 의존한다.

시발 .. 순환 정의!!

보통 이 식을 파이썬으로 표현한다면 대강 아래처럼 표현될텐데 ...

for i in range(0,n)

F = Fe - C*v[i]*v[i]

a = F/m

v.append(v[i] + dt * a)

이건 물리를 프로그램으로 풀어본 사람들이라면 누구라도 이렇게 생각할 것임. 사람들이 저렇게 생각하는 이유는 다음과 같다.

위의 전체 힘 F의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있음.

m * a = Fe - C*v^2

(F = ma 니까)

m * dv/dt = Fe - C *v^2

(a = dv/dt 이니까)

m * (v[i+1] - v[i])/dt = Fe - C * v^2

(여기서 dt는 Δt 라고 봐야 함.. 미분을 이산화한 것이고 미분을 이산화하는 것은 테일러 전개에 의한 것이므로 에러가 무조건 포함됨)

v[i+1] = v[i] + (dt/m) * (Fe - C * v[i] * v[i])

결국 위의 파이썬 코드는 미분 방정식을 이산화해서 푸는 과정을 나타내었던 것.

물리식에서 뭔가 순환 논리가 보이는 경우(A를 알려면 B를 알아하는데, B가 A의 함수라는 식) 전체 시스템을 식으로 적어보고, 미분방정식으로 표현 가능한지 살펴보면 ... 저렇게 표현할 수 있었음.

사실 엄청 당연한 소린데 ㅋㅋㅋ 요즘에 계속 보다보니 아 저게 저런거였구나.. 하고 뒤늦게 깨달아서 적어봤음.

혹시나 물리라던가 뭔가 시스템 다이나믹스랑 관련된 코딩하는 분들에게 도움이 됐으면해서 ...

[슽알린(9710willy)]

프로그램으로 물리를 해본적이 없어서 뭔지 몰겠다ㅎ

[地鬼(dczlatan)]

속도 계산할 때 가속도 구해서 예전 속도 + dt * 가속도 라고 계산하는 이유를 적어보고 싶었음. 음 ... 갤 주제랑 안맞는건가;

[슽알린(9710willy)]

근데 이산화 영어로 뭐임?

[地鬼(dczlatan)]

discretization?

[슽알린(9710willy)]

Linear algebra 까지 과정 나갔는데 discretization은 잘 모르겠네 discrete mathematics 수강해야하나

[地鬼(dczlatan)]

저건 수치해석(Numerical analysis)에서 주로 다루는 주제임. 미분 방정식을 다항식으로 바꾸는 매직

[슽알린(9710willy)]

수학과 아니면 거기까진 안나가던데

[슽알린(9710willy)]

신기하네

[地鬼(dczlatan)]

공대생들은 다들 수치해석을 어느 정도는 함 ㅎㅎ 전공 과목에서 나오는 미분 방정식들을 풀려면 아무래도 수치해석을 해야되니까... 보통은 상용 프로그램을 쓰겠지만 재수없는 경우엔 직접 만들어야되니까... 그땐 '2학년때 열심히 들을껄 ㅅㅂ' 하면서 다시 교과서 봄

[슽알린(9710willy)]

에에엥 뭔가 이상한데 수업시간에 안듣고 딴청 피우고 있었나