방정식 f(n)=-n²/2+7n/2-2이 n=1, n=2, n=3을 근으로 갖으므로 x+y+z=1, x²+y²+z²=3, x³+y³+z³=4 이다.
따라서 xy+yz+zx=-1, xyz=0 이다.
함수 g(t)=t³-t²-t를 잡고 g(t)=0의 세 실근을 a, b, c라 하자.
그러면 a+b+c=1, ab+bc+ca=-1, abc=0 이다.
그러므로 {x, y, z}={a, b, c}, t³-t²-t=0의 세 실근은 x, y, z이다.
t³-t²-t=0에 각각 x,y,z를 대입하고 x,y,z의 n-1제곱을 양변에 곱한다. 그리고 세 등식을 양변 더해준다.
그러면 f(n+2)=f(n+1)+f(n), f(1)=1, f(2)=3, f(3)=4 이다.
∞Σk=1 f(k)/2^k
= 1/2 + ∞Σk=2 f(k)/2^k
= 1/2 + ∞Σk=2 {f(k+1)-f(k-1)}/2^k
= 1/2 + 2×∞Σk=2 f(k+1)/2^(k+1) - {∞Σk=2 f(k-1)/2^(k-1)}/2
∞Σk=1 f(k)/2^k = A라 하자.
A=1/2+2(A-1/2-3/4)-A/2
A=4
∞Σk=1 f(k)/2^k=4
요즘 교육과정 정확히는 잘 모르지만 점화식 웬만한건 다 빠지지 않았냐 특히 멱급수류
a_1=1, a_2=1인 피보나치 수열 a_n이 있으면 ∞Σk=1 a_n/2^k 구하는 문제가 강남 8학군인가하는 학고 내신으로 나온 적이 있음
ㅇㅎ 뭐 그런곳 내신이야 별거 다 내긴 하겠다... 암튼 이게 멱급수의 가장 정석적인 풀이긴하지 ㄱㅅㄱㅅ