Encyclopedia of triangle centers에는 현재까지 무려 44076개의 삼각형 중심이 정의되어 있어.
첫 8개의 중심을 나열해보면 다음과 같아.
X(1): 내심 (incenter)
X(2): 무게중심 (centroid)
X(3): 외심 (circumcenter)
X(4): 수심 (orthocenter)
X(5): 구점중심 (nine-point center)
X(6): 르무안점 (symmedian point, Lemoine point)
X(7): 제르곤점 (Gergonne point)
X(8): 나겔점 (Nagel point)
방심 (excenter)은 여러 개라 목록에는 없지만, 내심과 비슷한 성질을 많이 공유한다고 생각하면 됨.
X(1) ~ X(4)에 대해서는 삼각형 칼럼과 QUIZ를 통해 충분히 다뤘다고 생각하고, 이젠 그 외의 삼각형 중심에 대해서 다뤄보고자 해.
이번에는 X(6), 즉 르무안점에 대해서 다뤄볼거야.
우선은 들어가기에 앞서 이전 게시글에서 살펴봤던 Steiner's ratio theorem을 복습해보자.
삼각형에서 대칭중선은 한 꼭짓점을 기준으로 중선을 내각의 이등분선에 대해 대칭시킨 직선을 말하는데,
세 대칭중선은 각체바 정리의 역에 의해 한 점에서 만나고, 이 교점을 르무안점이라고 불러.
대칭중선이 될 필요충분조건은 총 3개가 있고, 이를 증명하기 위해 위에서 언급한 Steiner's ratio theorem이 사용돼.
참고로 '성질 2 ⓓ'에서 d(P, AB)는 'P와 AB 사이의 거리'를 의미해.
A를 지나는 △ABC의 대칭중선은 △ABC의 외접원을 작도한 뒤에, B와 C에서 그은 두 접선이 만나는 점과 A를 이으면 쉽게 작도할 수 있음.
∠A가 직각이면, B와 C에서 그은 두 접선이 평행하기 때문에 이 방법으로는 못 찾고, 대신 A에서 BC에 내린 수선이 △ABC의 대칭중선이 됨.
또한, 아래 그림에서 △PQR을 △ABC의 tangential triangle이라 부르고,
△PQR의 제르곤점 (Gergonne point; 꼭짓점과 마주보는 변 위의 내접원 접점을 이은 세 직선이 만나는 점)을 작도하면 △ABC의 르무안점을 얻게 됨.
예전에 올렸던 QUIZ #03은 '성질 3'에서 둔각삼각형인 경우를 물어보는 문제라 할 수 있음.
'성질 2 ⓑ, ⓒ'가 서로 필요충분조건이라는 사실을 배웠으니 QUIZ #03의 두 문제는 서로 깊은 관련이 있음을 알 수 있지.
예전에 올라왔던 문제를 기억하려나.
삼각형에서 세 변에 이르는 거리의 제곱합을 최소로 만드는 점은 바로 삼각형의 르무안점임.
또한, 한 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발로 만들어지는 삼각형을 수족삼각형 (pedal triangle)이라 하는데,
삼각형의 르무안점은 곧 수족삼각형의 무게중심이 되고, 그 역도 성립해.
이제 대칭중선과 르무안점의 성질을 살펴봤으니,
시간이 난다면 5개의 연습문제를 한 번 풀어봐.
풀다보면 '성질 2'가 굉장히 유용하게 사용된다는 것을 알 수 있어.
풀이는 맨 밑의 링크 참고.
'연습문제 4'는 예전에 올라왔던 문제인데, 대칭중선을 이용한 다른 풀이가 가능하기 때문에 이번에 배운 성질을 써먹어서 한 번 풀어봐.
'연습문제 5'도 이미 올렸던 문제이고, 대칭중선과 어떠한 관련이 있는지 한 번 살펴봐봐.
[시리즈 링크]
삼각형 #03: 외심과 무게중심, 수심의 거리
삼각형 #05: 오심 Summary
개추 - dc App
1번풀고 싱글벙글하고있었는데 2번보고 대가리 깨짐 ㅋㅋ
2번은 '성질 2 ⓓ'를 이용하는게 제일 쉬울걸
다시보니 닮은게 있는것같기도 하고
수선 내려서 직사각형만 만들면 생각보다 쉽게 풀림