어쩌다 문제의 C=A, C'=A_1, ..., D= G, E=F로 놓고 풀었읍니다
일단 CC', ..., EE'의 수직이등분선을 l, CE, C'E', l의 교점을 P, DD'과 w의 교점을 H, FH와 l의 교점을 G'라 하자. 나머지 점들은 그림과 같이 정의한다(Q는 CC'과 l 교점.).
이때 P의 원 w에 대한 방멱은 PC*PE, △C'DE' 외접원에 대한 방멱은 PC'*PE'인데 PC*PE=PC'*PE'니 두 방멱값이 같아 P는 두 원의 근축 DF 위이다. 또 DD'//EE'이니 HI=DE=CD, ∠HEI=∠DEC이다.
따라서 ∠PJH=∠CEE'=∠CEH+∠HEI=∠CEH+∠DEC=∠DEH=∠PFH(∵(F, D, I, H) 공원점.).
결국 (P, F, J, H)가 공원점이 된다.
이제 △PDM에서 직선 FG'H로 Menelaus 정리 쓰면 (PF/FD)*(DH/HM)*(MG'/G'P)=1.
이때 ∠FPJ=∠FHJ이니 △DHF∽△DPJ, △G'HM∽△DPN. 따라서 DH/DF=DP/DJ고 G'M/MH=DN/NP.
이제 위 식과 PN=(PC+PE)/2, PF*PD=PC*PE 대입 시 PG'=(DN/DJ)*2*PC*PE/(PC+PE)=2*PQ*PR/(PQ+PR)=PG.
따라서 G'=G니 동일법에 의해 증명 끝.
일단 CC', ..., EE'의 수직이등분선을 l, CE, C'E', l의 교점을 P, DD'과 w의 교점을 H, FH와 l의 교점을 G'라 하자. 나머지 점들은 그림과 같이 정의한다(Q는 CC'과 l 교점.).
이때 P의 원 w에 대한 방멱은 PC*PE, △C'DE' 외접원에 대한 방멱은 PC'*PE'인데 PC*PE=PC'*PE'니 두 방멱값이 같아 P는 두 원의 근축 DF 위이다. 또 DD'//EE'이니 HI=DE=CD, ∠HEI=∠DEC이다.
따라서 ∠PJH=∠CEE'=∠CEH+∠HEI=∠CEH+∠DEC=∠DEH=∠PFH(∵(F, D, I, H) 공원점.).
결국 (P, F, J, H)가 공원점이 된다.
이제 △PDM에서 직선 FG'H로 Menelaus 정리 쓰면 (PF/FD)*(DH/HM)*(MG'/G'P)=1.
이때 ∠FPJ=∠FHJ이니 △DHF∽△DPJ, △G'HM∽△DPN. 따라서 DH/DF=DP/DJ고 G'M/MH=DN/NP.
이제 위 식과 PN=(PC+PE)/2, PF*PD=PC*PE 대입 시 PG'=(DN/DJ)*2*PC*PE/(PC+PE)=2*PQ*PR/(PQ+PR)=PG.
따라서 G'=G니 동일법에 의해 증명 끝.
좋은 풀이 감사합니다! - dc App