△ABC의 외심을 O, 내심을 D, AD에 수직하고 D 지나는 직선과 AB, AC의 교점을 각각 E, F, AE⊥GE인 AD 위의 점을 G, 호 BC의 중점을 J, EF와 BC 교점을 K, KJ와 원의 J가 아닌 교점을 H라 하자. 또 G 중심, E, F 지나는 원을 Γ라 하자.
∠EDB=∠AED-∠ABD=(90°-∠A/2)-∠B/2=∠C/2=∠BCD. 따라서 KD^2=KB*KC=KJ*KH이므로 ∠EDH=∠DJH.
이때 ∠EDH=∠DJH=∠AJH=180°-∠EBH이므로 결국∠EDH+∠EBH=180°, (E, D, H, B) 공원점.
따라서 ∠EHB=∠EDB=∠C/2.
같은 방식으로 ∠FHC=∠B/2, ∠BHC=180°-∠A니 ∠EHF=90°-∠A/2=(180°-∠A)/2=∠EGF/2.
따라서 원주각-중심각 성질에 의해 H는 Γ 위, GH=GE. 따라서 GH^2=GE^2=GD*GA이므로 ∠HAG=∠DHG가 성립.
이때 ∠OHJ=90°-∠HOJ/2=90°-∠HAJ=90°-∠DHG. 근데 ∠DHJ=∠FDJ=90°니 ∠OHJ=∠GHJ. 따라서 O, G, H는 일직선상이고, Γ는 H에서 원 O에 접한다. 따라서 Γ가 문제에서 말한 AB, AC, 원 O에 접하는 원이고, 동일법에 의해 EF 중점인 D는 내심이다.
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