이미 삼각형 칼럼과 QUIZ 등을 통해서 삼각형의 오심에 대해 충분히 다뤘지만,
정보가 워낙 흩어져 있어서 오심의 성질과 증명의 논리적인 흐름을 파악하기 쉽게 재구성해봤어.
삼각형 말고 원에 내접하는 사각형과 관련된 정리가 궁금하다면 원 #03 참고.
시간이 많지 않은 관계로 증명의 아이디어만 간략하게 적을게.
우선 외심, 내심, 방심에 대한 성질부터.
(1.6) ~ (1.9)는 생소할수도.
(1.2)는 닮음 이용.
(1.3), (1.10)은 삼각형 #01, 삼각형 #02 참고.
(1.5)의 방접원 반지름 식과 (1.7)의 두 번째 식은 QUIZ #08 참고.
(1.6)은 내심과 세 방심에서 BC에 수선을 내리고 중점의 성질을 활용해봐.
(1.7)의 첫 번째 식은 (1.6) 참고, 세 번째 식은 (1.5) 참고.
(1.8)의 첫 번째 식의 두 번째 등호는 코사인 제2법칙 참고, 두 번째 식은 (1.6) 참고
(1.9)는 아래의 (0.3) 참고. (0.3)은 (0.2)로부터 유도된 식임.
참고로 (0.9)는 (0.1)을 이용하면 되고, (0.10)은 (1.8) 참고.
이번에는 수심, 무게중심과 관련된 성질.
수심은 특히 대칭과 관련된 성질이 많은데,
(2.1)에서 알 수 있는 것은, AH와 AO는 ∠A의 이등분선에 대해 대칭 관계라는 거야.
삼각형 #04에서 다뤘던 등각 관계식이랑 연관 지어봐.
(2.2)의 대칭 성질도 수심의 위치를 판단할 때 상당히 유용한 성질이야.
(2.1), (2.4), (2.5)의 두 번째 줄과 세 번째 줄은 삼각형 #03 참고.
(2.2)는 QUIZ #14 참고.
(2.3)은 (1.8) 참고.
(2.5)의 첫 번째 줄은 라이프니츠 증명 참고.
삼각형 #04에서 X(6)에 해당하는 중심 르무안점을 소개했었지?
내접원의 접점, 방접원의 접점으로 만들어지는 Ge (제르곤점), Na (나겔점)은 각각 X(7), X(8)에 속해.
(3.1), (4.1)은 (1.4)와 체바 정리 (5.1)을 이용하면 쉽게 보일 수 있음.
(3.2)는 삼각형 #04 참고.
(4.2)는 (1.4)를 통해 제르곤점과의 대칭 관계를 생각해보면 직관적인 이해가 가능할거임.
(3.3), (4.3)은 (1.4)를 참고하여 큰 삼각형에서 귀퉁이의 세 삼각형을 빼면 됨.
이번에는 체바삼각형과 수족삼각형.
특히 P가 뭐인지에 따라 다양한 이름의 삼각형이 등장하는데,
심슨 직선을 제외하면 전부 직관적으로 이해될거라고 생각해.
(5.1)은 넓이를 통해 증명하는게 일반적이지.
(6.1)은 피타고라스 정리 참고.
(6.2)는 공원점을 찾으면 되고, 이를 통해 심슨 직선을 직관적으로 이해할 수 있음.
(6.3)은 AP가 한 원의 지름이라는 것만 이해하면 쉬움.
(6.4)는 좀 생각해보고 잘 모르겠으면 링크 참고.
그 다음은 수심삼각형.
수심삼각형은 수심 H에 대한 체바삼각형이자 수족삼각형이기 때문에
아래 성질 뿐만 아니라 (5.1), (6.1) ~ (6.4)도 성립해.
성질이 굉장히 많다고 할 수 있지.
{A, B, C, H}를 우리는 '수심계'라고 부르는데,
수심계에서 아무 세 점이나 뽑아서 삼각형을 만들면 나머지 점은 그 삼각형의 수심이 돼.
그래서 저 네 점을 묶어서 하나의 계 (system)로 부르는거야.
(7.1) ~ (7.3)은 전부 공원점 찾으면 됨.
(7.4)는 (6.4)와 (2.5) 참고.
(7.5)에서 구점원은 추후 칼럼에 쓸 예정.
(7.6)은 이미 이전 게시글에서 증명을 했음.
그 다음은 방심삼각형과 중점삼각형.
(8.1)은 내각의 이등분선과 같은 각의 외각의 이등분선이 서로 수직이라는 것만 이해하면 쉬워.
(8.2)는 (3.3)과 비슷한 방식.
(8.3)은 (7.5)로부터 얻어지는 결과.
(9.1), (9.4) i), ii)는 삼각형 #03 참고.
(9.4) iii)은 (4.2) 참고.
[시리즈 링크]
삼각형 #01: 외심과 내심의 거리
삼각형 #02: 외심과 방심의 거리
삼각형 #03: 외심과 무게중심, 수심의 거리
삼각형 #04: 대칭중선과 르무안점
삼각형 #06: '우연한 각도'에 대한 TMI
원 #01: 방멱과 근축에 관하여
원 #02: 방멱과 근축 - 공간으로의 확장 및 적용
원 #03: 원에 내접하는 사각형
작도 #01: 직선자만 사용하는 평행선 작도법
이정도면 경시 교재수준 ㄷㄷ
언젠가 한번 정리해보고 싶었다
뭐하는사람이길래 이런걸 다 알고잇음 좀 쩌는듯
원래 쓸데없는거에 관심이 많음 ㅎㅎ
와 개추입니다 시간들이고 정독해봐야겠네요 - dc App
개추
개추 근데 방심삼각형의 구점원이 삼각형ABC였나
방심삼각형의 수심삼각형이 △ABC이므로, 방심삼각형의 구점원은 △ABC의 외접원.