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일직선의 서로 다른 세 점 외심 (O), 내심 (I), 수심 (H)이 주어질 때 원래의 삼각형을 작도하는 문제.
오심의 성질 (삼각형 #05 참고)을 총동원해서 풀 수 있는 좋은 문제인듯.


성질 (2.1)에 의해 삼각형의 꼭짓점은 다음 i), ii) 둘 중 하나 위에 있어야 함.
i) OP : HP = OI : HI를 만족하는 P의 자취인 아폴로니우스 원
ii) O, I, H를 지나는 직선

경우를 따져보면
두 꼭짓점 (A, B)이 i) 위에, 나머지 한 꼭짓점 (C)이 ii) 위에 있는 경우만 가능함.
CH와 AB는 수직이므로 AB는 ii)와 수직이어야 함.

I는 i) 위의 점이고, i)의 중심을 X라 하면
성질 (1.3)에 의해 X는 △ABC의 외접원 위의 점이어야 함.

C에서 AB에 내린 수선의 발을 Y라 하면
성질 (2.2)에 의해 HY = XY이어야 함.

즉, AB는 HX의 수직이등분선이라는 소리이고,
A, B, O의 위치를 아니 C를 작도하는 것은 쉬움.

정리하자면 순서는
(1) OP : HP = OI : HI를 만족하는 P의 자취인 아폴로니우스 원 X 작도
(2) HX의 수직이등분선과 원 X의 교점으로 A, B 작도
(3) O에 대한 X의 대칭점 C 작도
(4) △ABC의 세 변 작도

제일 어려운 부분은 (1)인데, 연습문제로 남겨놓겠음.
힌트는 닮음과 공통외접선.



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