[질문/답변] 사면체의 외접구와 내접구

[익명(39.7)]

사면체의 외접구와 내접구의 존재성..

항상 존재한다는 것은 알겠는데, 증명을 못하겠어요ㅠㅠ 

사면체의 한면의 외심을 지나고 그면과 수직한 직선들의 교점이 외접구의 중심이다. 이런 방식으로 증명해야 할 거 같은데 도움좀 주심 안될까여

[익명(172.107)]

댓글로 쓰는거라 그림 직접 그려가며 이해해주세요. △ACD 외심을 O1, △BCD 외심을 O2라 하고, O1, O2에서 각 평면 위로 올린 수선을 l1, l2라 합시다. l1 위의 점에서는 A, C, D에 이르는 거리가 같고, l2 위의 점에서는 B, C, D에 이르는 거리가 같습니다 (피타고라스 정리를 생각해보면 자명). 그런데,

[익명(172.107)]

공간 상이라 두 직선이 만남을 보여야 합니다 (꼬인 위치일 수도 있기 때문). 그런데, l1, l2가 모두 CD를 수직이등분하는 평면 위에 있기 때문에, l1, l2는 한 점에서 만나고, 이 교점에서는 A, B, C, D에 이르는 거리가 같습니다.

[익명(172.107)]

내접구의 경우에는 두 면이 이루는 이면각을 이등분하는 평면을 고려합니다. 총 6개인데, 이 중 다음의 3개만 살펴봅시다. i) (△ABC, △ABD), ii) (△ABD, △ACD), iii) (△ABD, △BCD). i), ii)에 의해 생기는 교선을 l1, i), iii)에 의해 생기는 교선을 l2라 하면, l1과 l2는 모두 i) 위에 있으므로 교점이

[익명(172.107)]

존재하고, 이 교점에서는 네 면에 이르는 거리가 같습니다. 여기까지가 존재성 증명 끄읕.

[익명(172.107)]

내접구 증명에서 l1과 l2는 일반적으로 각 면의 내심을 지나지 않는다는 것에 주의.

[익명(218.148)]

형남 사랑합니다