[문제/풀이] 오늘의 문제

[군대기하(o9j8w7)]

출전은 IMO 2013 #3(G6) 입니다.

인생처음으로 직접 푼 마지막문제네요..(3,6번)

이문제를 마지막으로

조금 난이도를 낮춰볼까요..?

여러분들의 의견은 언제나 환영입니다!!

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[익명(220.93)]

A, B, C에 대한 방심을 각각 D, E, F, △ABC 외접원과 DE, EF, FA의 교점을 각각 P, Q, R, △A_1B_1C_1의 외심을 O라 하자. 이때 각돌리기해보면 (A, C, D, F)는 공원점, ∠DAF=90°, ∠ADC=∠B/2라 (A, C, D, F)의 외심 O'은 DF 위, ∠AO'C=∠B. 근데 R도 DF 위고 ∠ARC=∠B라

[익명(220.93)]

동일법에 의해 R=O'(AB=AC 아니면 그렇고, AB=AC면 B=R=O'이 되어 어차피 성립.). 따라서 AR=CR. 또 AC_1=CA_1=s-AC고 ∠RAC_1=∠RCA_1이니 △RAC_1≡△RCA_1(SAS). 따라서 RA_1=RC_1, ∠A_1RC_1=∠ARC=∠B. 이제 O가 호 AB(R 있는 쪽) 위면 O는 △ABC 외접원 위고 OA_1=OC_1

[익명(220.93)]

인데, R도 이 두 조건을 만족. 따라서 동일법에 의해 O=R. 근데 같은 식으로 QB_1=QC_1, R=O니 RB_1=RC_1이라 △QRB_1≡△QRC_1(SSS), ∠QRB_1=∠C_1RB_1/2. 따라서 ∠QRP=∠C_1RA_1/2=∠B/2. 또 R은 직각삼각형 △DAF의 외심이라 DF의 중점, 같은 식으로 P, Q도 각각 DE, EF의 중점.

[익명(220.93)]

따라서 □EPRQ는 평행사변형, ∠PEQ=∠QRP=∠B/2. 근데 각돌리기해보면 A, C는 각각 EF, DE 위니 ∠CEA=∠PEQ=∠B/2. 이때 각돌리기로 ∠CEA=90°-∠B/2니 ∠B=90°. 따라서 △ABC는 직각삼각형.