문제:
풀이:
보조정리. 삼각형 ABC에서 △ABC의 외접원에 내접하는 한 원이 변 AB, AC에 각각 점 P,Q에서 접한다고 할 때, PQ의 중점이 삼각형 ABC의 내심이다.
증명은 이미 올라왔음 https://gall.dcinside.com/m/geometry/1167
∠AIB=90°+∠C/2=90°+∠BID, ∠BID=∠ICA
따라서 ∠FEA=∠EDF 접현각 관계이므로 △DEF의 외접원이 AC에서 접함.
마찬가지로 AB에서도 접하므로 보조정리에 의해 △DEF의 외접원이 △ABC의 외접원과 접함.
이제 P가 △ABC의 외접원 위의 점임을 보이면 되는데
∠DPI=∠DEF=∠EIC=∠DBI 이므로 (D,B,P,I) 공원점
같은 방법으로 (E,C,P,I) 공원점
내대각으로 ∠BPI=∠IDA, ∠CPI=∠IEA
∠BPC=∠BPI+∠CPI=∠IDA+∠IEA=π-∠BAC이므로 (A,B,C,P) 공원점
P는 동시에 △ABC의 외접원과 △DEF의 외접원상에 있으므로 유일한 접점이다.
그러므로 두 원의 중심을 이은 직선상에 존재한다.
굿굿