1.
(위 그림 참조. 풀이에선 I=D, D=E, E=F로 바꿔서 품.)
Let △ABC의 외심: O, 내심: D, AE⊥GE인 AD 위의 점: G, G가 중심이고 E, F 지나는 원: Γ.
(Lemma) 원 Γ는 △ABC의 외접원에 내접한다. 또한 그 접점을 H라 할 때 ∠EHD=∠B/2, ∠FHD=∠C/2이다.
(Pf) Let 호 BC의 중점: J, EF와 BC 교점: K, KJ와 원의 J가 아닌 교점: H.
∠EDB=∠AED-∠ABD=90°-∠A/2-∠B/2=∠C/2=∠BCD. 따라서 KD^2=KB*KC=KJ*KH, ∠EDH=∠DJH.
이때 ∠DJH=180°-∠EBH이므로 ∠EDH+∠EBH=180°, (E, D, H, B) 공원점. 따라서 ∠EHD=∠EBD=∠B/2.
isw로 ∠FHD=∠C/2, 결국 둘의 합인∠EHF=90°-∠A/2=∠EGF/2. 따라서 H는 Γ 위, GH=GE. 또 GH^2=GE^2=GD*GA이므로 ∠HAG=∠DHG.
이때 ∠OHJ=90°-∠HOJ/2=90°-∠HAJ=90°-∠DHG. 근데 ∠DHJ=∠FDJ=90°니 ∠OHJ=∠GHJ. 따라서 O, G, H는 공선점.
즉, 원 Γ는 △ABC 외접원에 H에서 내접. 또한 ∠EHD=∠B/2, ∠FHD=∠C/2도 중간에 증명됨.
이제 문제의 F(이제부턴 X라 칭하자.)가 원 Γ 위이고, X, D, H가 공선점임을 보이면 H=P가 되며 Lemma에 의해 증명이 끝난다.
XE//BD니 ∠XED=∠EDB=90°-∠A/2-∠B/2=∠C/2. isw로 ∠XFD=∠B/2, ∠EXF=180°-∠B/2-∠C/2=90°+∠A/2=∠EGF(우각)/2.
따라서 원주각-중심각 성질에 의해 X는 Γ 위. 그럼 Lemma에 의해 XHF=XEF=C/2=DHF니 X, D, H는 공선점. 따라서 증명 끝.
2.
(아래 그림 참조. 풀이에선 I=D, O=H, D=K, E=F, X=L, P=M으로 바꿔서 품.)
Let Ω와 BC의 접점: J, 직선 LJ: l, D에서 LH에 내린 수선의 발: P, H에서 l에 내린 수선의 발: Q, FH의 중점: N, l과 Ω의 교점: O. 또 △BMC 외접원: Γ.
(Lemma) L 위치에 상관없이 D는 항상 l 위이다.
(Pf) 일단 DF//HJ니 ∠LFD=∠LHJ. 또 DF/HJ=AD/AH인데 AL//DF라 AD/AH=LF/LH. 따라서 DF/HJ=LF/LH니 △LFD∽△LHJ(SAS). 즉 L, D, J 공선점.
먼저 ∠DBH=∠DCH=∠DPH=∠DQH=90°니 (D, H, B, C, P, Q) 공원점. 따라서 BF*CF=PF*HF, BJ*CJ=DJ*QJ.
이때 L이 내접원 위에 오면 DL=DF, P는 LF의 중점. 따라서 BF*CF=PF*HF=LF*HF/2=LF*NF. 즉 (B, C, L, N)은 공원점, 이 원 중심이 M이니 ML=MN.
따라서 ∠MLN=∠MNL인데, MN//DF고 DL=DF라 ∠MNL=∠DFL=∠DLF. 즉 ∠MLN=∠DLF니 M도 l 위.
이때 F, J는 MN에 대칭이므로 M은 DJ의 중점. 또 Q도 JO의 중점. 따라서 BJ*CJ=DJ*QJ=2*MJ*QJ=MJ*OJ. 즉 (B, C, M, O)는 공원점, Γ는 O를 지난다.
이제 Ω와 Γ가 O에서 접함만 보이면 된다. 그런데 Γ의 M에서의 접선을 m이라 하면 M은 호 BC의 중점이니 m//BC.
즉 m과 MO가 이루는 각=∠CJO인데, Ω는 BC에서 접하니 결국 Ω, Γ가 O에서 각각 그은 접선들이 OJ와 이루는 각은 ∠CJO로 동일. 따라서 두 접선은 같고, 이는 Ω와 Γ가 O에서 접함을 의미. 따라서 증명 끝.
(위 그림 참조. 풀이에선 I=D, D=E, E=F로 바꿔서 품.)
Let △ABC의 외심: O, 내심: D, AE⊥GE인 AD 위의 점: G, G가 중심이고 E, F 지나는 원: Γ.
(Lemma) 원 Γ는 △ABC의 외접원에 내접한다. 또한 그 접점을 H라 할 때 ∠EHD=∠B/2, ∠FHD=∠C/2이다.
(Pf) Let 호 BC의 중점: J, EF와 BC 교점: K, KJ와 원의 J가 아닌 교점: H.
∠EDB=∠AED-∠ABD=90°-∠A/2-∠B/2=∠C/2=∠BCD. 따라서 KD^2=KB*KC=KJ*KH, ∠EDH=∠DJH.
이때 ∠DJH=180°-∠EBH이므로 ∠EDH+∠EBH=180°, (E, D, H, B) 공원점. 따라서 ∠EHD=∠EBD=∠B/2.
isw로 ∠FHD=∠C/2, 결국 둘의 합인∠EHF=90°-∠A/2=∠EGF/2. 따라서 H는 Γ 위, GH=GE. 또 GH^2=GE^2=GD*GA이므로 ∠HAG=∠DHG.
이때 ∠OHJ=90°-∠HOJ/2=90°-∠HAJ=90°-∠DHG. 근데 ∠DHJ=∠FDJ=90°니 ∠OHJ=∠GHJ. 따라서 O, G, H는 공선점.
즉, 원 Γ는 △ABC 외접원에 H에서 내접. 또한 ∠EHD=∠B/2, ∠FHD=∠C/2도 중간에 증명됨.
이제 문제의 F(이제부턴 X라 칭하자.)가 원 Γ 위이고, X, D, H가 공선점임을 보이면 H=P가 되며 Lemma에 의해 증명이 끝난다.
XE//BD니 ∠XED=∠EDB=90°-∠A/2-∠B/2=∠C/2. isw로 ∠XFD=∠B/2, ∠EXF=180°-∠B/2-∠C/2=90°+∠A/2=∠EGF(우각)/2.
따라서 원주각-중심각 성질에 의해 X는 Γ 위. 그럼 Lemma에 의해 XHF=XEF=C/2=DHF니 X, D, H는 공선점. 따라서 증명 끝.
2.
(아래 그림 참조. 풀이에선 I=D, O=H, D=K, E=F, X=L, P=M으로 바꿔서 품.)
Let Ω와 BC의 접점: J, 직선 LJ: l, D에서 LH에 내린 수선의 발: P, H에서 l에 내린 수선의 발: Q, FH의 중점: N, l과 Ω의 교점: O. 또 △BMC 외접원: Γ.
(Lemma) L 위치에 상관없이 D는 항상 l 위이다.
(Pf) 일단 DF//HJ니 ∠LFD=∠LHJ. 또 DF/HJ=AD/AH인데 AL//DF라 AD/AH=LF/LH. 따라서 DF/HJ=LF/LH니 △LFD∽△LHJ(SAS). 즉 L, D, J 공선점.
먼저 ∠DBH=∠DCH=∠DPH=∠DQH=90°니 (D, H, B, C, P, Q) 공원점. 따라서 BF*CF=PF*HF, BJ*CJ=DJ*QJ.
이때 L이 내접원 위에 오면 DL=DF, P는 LF의 중점. 따라서 BF*CF=PF*HF=LF*HF/2=LF*NF. 즉 (B, C, L, N)은 공원점, 이 원 중심이 M이니 ML=MN.
따라서 ∠MLN=∠MNL인데, MN//DF고 DL=DF라 ∠MNL=∠DFL=∠DLF. 즉 ∠MLN=∠DLF니 M도 l 위.
이때 F, J는 MN에 대칭이므로 M은 DJ의 중점. 또 Q도 JO의 중점. 따라서 BJ*CJ=DJ*QJ=2*MJ*QJ=MJ*OJ. 즉 (B, C, M, O)는 공원점, Γ는 O를 지난다.
이제 Ω와 Γ가 O에서 접함만 보이면 된다. 그런데 Γ의 M에서의 접선을 m이라 하면 M은 호 BC의 중점이니 m//BC.
즉 m과 MO가 이루는 각=∠CJO인데, Ω는 BC에서 접하니 결국 Ω, Γ가 O에서 각각 그은 접선들이 OJ와 이루는 각은 ∠CJO로 동일. 따라서 두 접선은 같고, 이는 Ω와 Γ가 O에서 접함을 의미. 따라서 증명 끝.
출전은 2021 fkmo였음