O 중심, I 지나는 원 Г가 ∠A, ∠B, ∠C의 각이등분선과 만나는 점을 각각 X, Y, Z라 하자.
(Lemma) C, Z를 지나는 임의의 원과 BC, CA의 교점을 S, T라 할 때 CS+CT=AB이다.
(Pf) CZ는 ∠C의 각이등분선이므로 ZS=ZT. 즉 T를 CI에 대칭한 점을 T', Z에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ZST'은 이등변삼각형, H는 ST' 중점. 따라서 CS+CT=CS+CT'=2*CH=2*CZ*cos(∠C/2).
근데 C의 Г에 대한 방멱은 CI*CZ=R^2-IO^2이고, Euler의 삼각형 정리에 의해 R^2-IO^2=2*R*r. 또 CI=r/sin(∠C/2)니 대입해 정리 시 CZ=2*R*sin(∠C/2).
이를 대입하면 CS+CT=4*R*sin(∠C/2)*cos(∠C/2)=2*R*sin(∠C)=AB.
이제 △CDZ의 외접원이 원 Г와 만나는 다른 점을 P'이라 하자. 그럼 이 원은 Lemma에 의해 E 지남. 또 ∠YP'D=∠YP'Z-∠ZP'D=∠YIC-∠C/2=(∠B/2+∠C/2)-∠C/2=∠B/2=∠YBD이므로 (B, P', Y, D) 공원점이고, Lemma에 의해 이 원도 F 지남.
따라서 동일법에 의해 P=P'이 되므로 끝.
(Lemma) C, Z를 지나는 임의의 원과 BC, CA의 교점을 S, T라 할 때 CS+CT=AB이다.
(Pf) CZ는 ∠C의 각이등분선이므로 ZS=ZT. 즉 T를 CI에 대칭한 점을 T', Z에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ZST'은 이등변삼각형, H는 ST' 중점. 따라서 CS+CT=CS+CT'=2*CH=2*CZ*cos(∠C/2).
근데 C의 Г에 대한 방멱은 CI*CZ=R^2-IO^2이고, Euler의 삼각형 정리에 의해 R^2-IO^2=2*R*r. 또 CI=r/sin(∠C/2)니 대입해 정리 시 CZ=2*R*sin(∠C/2).
이를 대입하면 CS+CT=4*R*sin(∠C/2)*cos(∠C/2)=2*R*sin(∠C)=AB.
이제 △CDZ의 외접원이 원 Г와 만나는 다른 점을 P'이라 하자. 그럼 이 원은 Lemma에 의해 E 지남. 또 ∠YP'D=∠YP'Z-∠ZP'D=∠YIC-∠C/2=(∠B/2+∠C/2)-∠C/2=∠B/2=∠YBD이므로 (B, P', Y, D) 공원점이고, Lemma에 의해 이 원도 F 지남.
따라서 동일법에 의해 P=P'이 되므로 끝.
Euler 삼각형 정리:
https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95_%EC%A0%95%EB%A6%AC
imo제공 풀이랑 비슷하군요! 항상 좋은풀이 감사합니다 - dc App