viewimage.php?no=24b0d769e1d32ca73ceb87fa11d028310dffe6fa47565f9311496ae5c95455ccff7f1e109b213f6e2e376b95483f8e22165f0b6547c2d78dcacb0ecc34a36514fef48ce125f4af4229aa62f1733e793843295e1a3d165cd1ebb0eacf3c66410effc126

viewimage.php?no=24b0d769e1d32ca73ceb87fa11d028310dffe6fa47565f9311496ae5c95455ccff7f1e109b213f6e2e376b95483f8e22165f0b344790db8a9ec65ccc34a36514be0c745660092e7a890780762ae5dfc8c985eaf385cd91584bf611670d997df0a85ae2

AC, BD의 교점을 E, ∠BAP=∠CAD를 만족하는 BD 위의 점 P을 잡자.

(Lemma) ∠APD=∠CPD=90°+(∠B-∠D)/2이다.
(Pf) ∠BAE=α, ∠BCP=β, ∠CED=γ라 하자. Steiner's Ratio Theorem에 의해 BP*BE/CP*CE=(AB/AD)^2, AB/AD=CB/CD니 ∠BCP=∠ACD.
이때 Sine Law에 의해 AB/BE=sin(γ)/sin(α), DE/CD=sin(β)/sin(γ), PD/AD=sin(α)/sin(∠APD), PB/BC=sin(β)/sin(∠BPC).
이 식들을 잘 곱하고 나눈 후 조건들 쓰면 sin(∠APD)=sin(∠BPC), 따라서 ∠APD=∠CPD. 그럼 ∠BAP=∠CAD, ∠BCP=∠ACD니 ∠APC=∠B+∠CAD+∠ACD=180°+∠B-∠D.
따라서 ∠APD=∠CPD=90°+(∠B-∠D)/2.

이제 △APB, △CPD의 외접원들의 P가 아닌 교점을 X'이라 하자. 이때 ∠X'CD=∠X'PD=∠APD-∠APX'=180°-∠APB-∠APX'=∠X'AB.
또 ∠X'BC=∠B-∠ABX'=∠B-∠APX'=∠B-∠APD+∠X'PD, ∠X'DA=∠D-∠X'DC=∠D-180°+∠X'PC=∠D-180°+∠X'PD+∠DPC. 근데 ∠APD+∠DPC=180°+∠B-∠D니 ∠X'BC=∠X'DA.
따라서 X'=X가 되고(AB, CD 교점을 F, BC, DA 교점을 G, △ACF 외접원을 O_1, △BDG 외접원을 O_2라 하면 X는 O_1, O_2의 교점. 근데 두 원 교점은 사각형 내부에 1개만 존재하니 X는 유일.
따라서 X'은 X 조건 만족하니 X'=X.), 그럼 ∠AXB+∠CXD=∠APB+∠CPD=180°-∠APC+∠CPD=180°로 끝.