앞선 글 '역파스칼 삼각형 sol 입니다'에 이어서 n=6,7,8일때 역파스칼 삼각형이 존재하지 않음을 보이겠습니다.
앞선 글에서 n(n+1)/2-c꼴이 이웃 할 수 없다는 것을 증명하였고 앞선 글의 댓글의 an과 n(n+1)/2의 양변을 정삼각형을 만들었을 때 그안에 ai꼴이 없는데 다음 그림에 의하여 n(n+1)/2-c꼴이 1칸 띄어지게 놓인 경우는 ai=lc-dl(절대값)이 생겨 불가능함을 알 수 있습니다. 따라서 n(n+1)/2-c꼴은 최소 2칸은 떨어져야합니다.
1)n=8
n열에 n(n+1)/2-c꼴이 최소 4=n-(k+1)=8-(3+1)개 만큼 놓일 수 있는데 이때 필요한 n열의 최소 칸 수는 10칸입니다. 하지만 n열의 칸 수는 8칸으로 불가능합니다.
2)n=7
n열에 n(n+1)/2-c꼴이 최소 3=n-(k+1)=7-(3+1)개로 이때 필요한 n열의 최소 칸 수는 7칸입니다.
이것에 앞서 an과 n(n+1)/2의 경우는 다음 그림과 같이 2가지 경우로 놓일 수 있으며
왼쪽의 경우만이 an 왼쪽 대각선에 n(n+1)/2-c꼴이 놓이고 k=3으로 n열에 n(n+1)/2-c꼴이 3개가 놓일 수 있습니다. 따라서 이를 배치해보면 다음 그림과 같이 됩니다.
(단, 그림의 경우와 7번과 검은 동그라미 2개가 왼쪽에 있는 배치가 있습니다. )
a5,a6,a7이 1,2,3으로 구성되어 있으므로, a1,a2,a3,a4는 4,5,6,7로 구성되고 b4=22가 나옵니다. 따라서 19<=a2+2a3+a4<22이고 a2+2a3+a4 밑에 자리는 8=n+1이상의 수를 더한 것이므로 최소 27보다 큰 숫자가 나올 것입니다. 하지만 27=n(n+1)/2-c꼴로 파란색 동그라미에 있어야 함으로 모순이 생깁니다. 따라서 n=7에서 역파스칼 삼각형이 생기지 않습니다. 검은 동그라미 2개가 왼쪽에 있는 경우도 위와 마찬가지 방식으로 역파스칼 삼각형이 생기지 않습니다.
3)n=6
열에 n(n+1)/2-c꼴이 최소 2=n-(k+1)=6-(3+1)개로 n=7,8과 비슷한 방식으로 사용하여 이때 필요한 n열의 최소 칸 수는 4칸임을 알 수 있습니다. 만약 n열에 n(n+1)/2-c꼴이 3개가 있다면 n=7의 경우와 똑같이 필요 최소칸 수는 7칸이 되는데 n=6칸으로 불가능합니다. 따라서 n열에 n(n+1)/2-c꼴 다음과 같이 배치되는 경우만 있음을 알 수 있습니다.
a4,a5,a6은 1,2,3 그리고 a1,a2,a3는 4,5,6으로 구성되어 있음으로 b3=15가 나옵니다. 오른쪽에만 동그라미가 2개가 있는 경우는 n=7인 경우와 비슷하게 a3,a2,a1 순으로 대각선 방향으로 쭉 올라감으로 3번째줄에 맨 오른쪽 끝에 a2+a3가 생기고 9<=a2+a3<15가 되고 바로 밑에 자리는 7=n+1이상의 수를 더한 것임으로 17이상의 수고 이는 n(n+1)/2-c꼴이 파란색 동그라미에 위치해야 되는데 모순이 생깁니다. 왼쪽에만 동그라미가 2개있는 경우도 마찬가지 입니다.
양쪽에 동그라미가 1개씩 있는 경우 다음과 같이 a3가 2개가 생겨 모순이생깁니다.
최종적으로 n=6,7,8에 대해 증명하였으면 전글과 더불어 n은 6이상의 수에 대하여 역파스칼 삼각형은 존재하지 않습니다.
감사합니다. 조금 더 쉬운 풀이가 있을 것 같습니다.
댓글 0