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먼저 바깥쪽인 검정원, 안쪽에 있는 빨간원, 파란원의 반지름을 각각 r,r1,r2라 한다.(일단은 x=r2 이어야만 원이 되는데 임시로 그려놓았다.)


선분OC에 수직하게 직선 CO2를 그린다. 선분 O2C1 = O1O2 - O1C1 = O1O2 - r1, 선분 O2C2 = OC2-OO2 = r - OO2 일때 점O2가 C점에서 위로 올라가는 것을 생각해보면 O1O2, OO2가 증가함으로 선분O2C1은 0에서 증가, 선분O2C2는 2(r-r1)에서 감소한다. 따라서 O2C1=O2C2=r2인 r2가 존재한다.


여기서 만약 x=r2라면 파란색은 원이 존재하고 중심에서 지름으로 수직하게 선을 내렸을 때 원에 접함을 알 수 있다.

삼각형 CO2C3와 삼각형C'CM은 닮음임으로 x = CO2*(sina) = CO2*CC'/C'M이 되고 sina = (r-r1)/{(2r^2-2r1r)^0.5}이다. CO2 = ((r+r2)^2-r1^2)^0.5 = {(r-r2)^2-(2r1-r)^2}^0.5으로 정리하면 r2 = 2r1(r-r1)/(r+r1)이 되고 이를 x를 정리하는데 사용하면 x=r2가 나와 이 경우만 파란색원이 존재함을 알 수 있다. 따라서 파란색원에서 검정색원의 지름에 수직으로 선을 내리면 빨간색원에 접하게 된다. 

기하학적인 방법이 따로 있을 것 같습니다.