위와 같은 입체를 가브리엘의 호른 (Gabriel's horn)이라고 부름.
이 입체의 부피는 유한하고 겉넓이는 무한한데,
이 입체에 페인트를 칠하는 상황을 생각해보면 뭔가 모순처럼 느껴지게 됨.
이게 바로 페인터의 역설 (Painter's paradox)에 대한 내용이야.
기본적으로 차원이 달라서 생기는 문제인데,
일단 제대로 비교를 하려면 차원을 맞춰놓고 생각해야겠지.
겉넓이를 칠하더라도 어느 정도 두께는 있기 때문에 부피가 존재하기 마련.
일정한 두께로 안쪽 겉넓이를 칠하는 상황을 생각해보면,
두께를 어떻게 설정하든 부피를 채우는게 겉넓이를 칠하는 것보다 페인트가 더 많이 든다고 할 수 없음.
오히려 겉넓이를 칠하는게 비교할 수 없을 정도로 크지.
이건 (1/x)이라는 함수가 x가 무한대로 갈 때 0으로 가기 때문에 가능한 일이야.
그러니까 1/x가 무한으로 수렴한값보다 페인트 두께가 더 두껍기 때문이라고 이해하면 되는부분임??
ㅇㅇ... 부피를 채울 때 겉면도 채우니까 부피가 유한이면 겉넓이도 유한이라는 착각에 역설이 발생한건데, 사실은 무한한 겉넓이를 유한한 페인트로 채우는거엔 모순이 없었던거지. 무한한 겉넓이를 동일한 두께로 칠한다고 이해한다면 겉넓이와 부피 간의 대소를 더 이상 비교할 수 없게 되고...