서로 접하는 네 원에 대한 곡률 (반지름의 역수) 관계식은 다음과 같이 표현되고, 이를 데카르트 정리 (Descartes' theorem)라고 불러.
아래 그림 (출처)은 이 정리를 써먹을 수 있는 네 가지 경우를 나타내고 있어.
물론 (d)는 r1 = r2가 되어 별로 쓸모없는 케이스야.
(b)의 경우 가장 큰 원의 반지름은 음수임에 주의.
(a) 서로 외접하는 경우
(b) 세 원이 서로 외접하고 나머지 한 원에 내접하는 경우
(c) 직선이 1개인 경우 (1/r4 = 0)
(d) 직선이 2개인 경우 (1/r3 = 1/r4 = 0)
당시에 데카르트는 (a)만 고려했고, 증명조차도 완전하지 않았다고 해.
1826년에는 Steiner에 의해 증명이 완성되었고,
1936년에는 Soddy가 3차원일 때를, Gosset이 n차원일 때를 증명했어.
가장 널리 알려진 증명은 코사인 제2법칙을 이용하는 방법이야.
(b)의 경우는 r4만 음수로 생각하면 풀이는 동일해.
물론 벡터를 이용한 증명도 있어.
이를 이용하면 n차원까지 확장이 가능한데, 이를 Soddy-Gosset 정리라고 불러.
시그마 기호 때문에 겁먹을 수 있지만, 이해하고 난다면 이 풀이가 훨씬 깔끔함을 알 수 있을거야.
원 하나가 직선으로 바뀐 경우는 곡률을 0으로 취급할 수 있는데,
이 경우 전형적인 피타고라스 풀이로 얻는 결과와 동일한지 확인해봐.
실제 계산 예시는 이 글을 확인.
[시리즈 링크]
원 #01: 방멱과 근축에 관하여
원 #02: 방멱과 근축 - 공간으로의 확장 및 적용
원 #03: 원에 내접하는 사각형
삼각형 #01: 외심과 내심의 거리
작도 #01: 직선자만 사용하는 평행선 작도법
수학자들 진자 존나 개똑똑한듯