문제: 축이 서로 수직인 두 포물선이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 이 네 점은 공원점임을 보여라.
풀이:
보조정리. 축이 x축과 수직한 포물선 위에 네 점 A, B, C, D가 있을 때, AC와 BC의 기울기의 차는 AD와 BD의 기울기의 차와 같다.
증명: 적당히 대칭, 평행이동해서 y=ax^2로 놓을 수 있음.
그 위에 세 점 A(x1, y1), B(x2, y2), P(x,y)가 있는데 A, B는 정점이고 P는 동점임.
AP의 기울기=(y-y1)/(x-x1)=a(x^2-x1^2)/(x-x1)=a(x+x1)
BP의 기울기=(y-y2)/(x-x2)=a(x^2-x2^2)/(x-x2)=a(x+x2)
양변을 빼면 AP의 기울기-BP의 기울기=a(x1-x2)=일정
축이 서로 수직인 두 포물선이 만나는 서로다른 네 점을 A, B, C, D라 하자.
AB의 기울기를 a, AC의 기울기를 b, BD의 기울기를 c, CD의 기울기를 d라 하자.
보조정리에 의해 a-b=c-d이다.
축을 90도 돌리면 기울기는 역수가 되므로 1/a-1/b=1/c-1/d
연립하여 풀어보면 ab=cd이고 a+b=c+d 또는 a+b=-(c+d)이므로 a=c, b=d거나 a=-d, b=-c이다.
첫번째 경우는 A=D라서 조건에 맞지 않는다.
따라서 a=-d, b=-c이고 AB와 AC가 이루는 각은 AD와 CD가 이루는 각과 같다.
원주각이 같으므로 (A,B,C,D) 공원점
논증기하 풀이를 모르겠어서 해석기하로 풀었는데 더 괜찮은 풀이 있으면 알려주셈
풀이 좋은듯 ㅇㅇ 사실 자취 방정식 이용하면 한줄컷이긴 함. x²=ay+b, y²=cx+d의 연립이라 x²+y²-cx-ay-(b+d)=0이고 원의 방정식임은 자명. 쌍곡선과 타원에 대해서도 마찬가지로 성립함. 다른 풀이도 있긴 한데 시간 나면 올려보겠음
좀 돌아간 느낌이긴 해도 기울기가 대칭이라는 것까지 밝혀지니까 나름 의미있지 않나 싶음
나도 덕분에 새로운 성질 알아감 밑변이 서로 수직인 두 이등변삼각형 교차시켜 놓은거라 볼 수도 있겠네