포물선을 논증기하로 다룬 결과를 물리학에 적용시켜볼건데 앞에서 증명한 결과를 계속 이용할 거임. 명제 1~10, 명제 11~19 참고
결론부터 말하자면 물체가 포물선을 궤도로 갖으면 구심력이 거리의 제곱에 반비례하고 역도 성립한다는 것.
최대한 뉴턴이 쓴 그대로 옮기려고 노력했는데 하도 장황해서 적당히 순서를 바꾸긴 했음.
원본은 https://archive.org/details/ost-physics-newtonspmathema00newtrich/
먼저 밑밥을 좀 깔아야 함.
증명: 두 양이 같아지지 않는다고 하고 차가 결국 D가 된다고 하면, 두 양은 D보다 더 가까워질 수 없다. 이것은 가정과 모순이므로 두 양은 결국 같아진다.
미적분을 1도 모르는 탓에 감히 엡실론 델타 논법이랑 비교한다거나 엄밀함을 따져볼 순 없지만 대충 직관적으로 그럴 듯 하니까 넘어갔음.
정리 1. 구심력을 받으면서 운동하는 물체와 고정된 힘의 중심을 잇는 선분이 휩쓸고 지나가는 영역은 어떤 평면 위에 놓여 있으며, 넓이는 운동한 시간에 비례한다.
증명: 시간을 일정한 간격으로 자르자. 물체가 어떤 시간동안 A에서 B로 운동한 뒤 S 방향으로 충격을 받아 다시 똑같은 시간이 흐른 뒤 C로 움직인다. 관성의 법칙에 따르면 충격이 없을 때 물체는 등속도 운동하여 c로 이동할 것이다. 이 때, AB=Bc이므로 △SAB=△SBc이다. B에 도착한 순간 충격을 S 방향으로 받아 C로 이동했으므로 SB와 Cc는 평행하다. 따라서 △SBc=△SBC이다. 같은 과정을 반복하면 물체는 같은 시간 간격을 두고 D, E, F,...를 차례로 지나며 △SBC=△SCD=△SDE=△SEF=...이다. 이제 시간 간격이 무한히 작다고 가정하자. 보조정리에 의해 선분들을 모두 이은 궤도는 곡선과 같아질 것이고 물체는 구심력을 연속적으로 받을 것이다. 앞서 같은 시간 간격으로 무한히 작게 자른 삼각형들의 넓이가 모두 같음을 증명했으므로 영역의 넓이는 시간에 비례할 것이다.
고등학교 물리 시간에 케플러의 제2법칙으로 배우는 내용임. 여기까지가 면적속도 일정의 법칙을 논증기하로 증명하는 부분이라고 보면 됨.
정리 2. 물체가 S를 향한 구심력을 받으면서 P에서 Q로 이동한다. QR과 SP이 평행할 때, 구심력은 P가 Q와 같아지는 순간 SP²×QT²/QR이 수렴하는 값에 반비례한다.
증명: QR의 길이는 구심력의 크기와 시간의 제곱에 비례한다. (학교에서 배우는 공식인 F=ma와 s=½at²을 생각하면 됨.) 호 PQ와 S가 이루는 영역의 넓이와 △SPQ의 비는 1로 수렴하고 시간에 비례하므로 비례식에서 시간 자리에 SP×QT를 대입할 수 있다. 따라서 구심력의 크기는 SP²×QT²/QR에 반비례한다.
정리 3. 물체가 포물선 궤도를 따라 움직일 때, 구심력의 크기는 힘의 중심과의 거리의 제곱에 반비례한다.
증명: 물체가 포물선를 따라 P에서 Q로 이동한다고 하자. 포물선의 초점을 S, 꼭짓점을 A라 하자. P에서의 접선과 축의 교점을 M이라 하자. S에서 PM에 내린 수선의 발을 N, Q에서 SP에 내린 수선의 발을 T라 하자. Q를 지나고 SP와 평행한 직선과 SM의 교점을 R이라 하자. Q를 지나고 SM과 평행한 직선과 SP의 교점을 x, P를 지나고 축과 평행한 직선의 교점을 v라 하자. 간단한 기하학에 의해 △QxT~△SPN이므로 Qx:QT=SP:SN이다. 명제 11에 의해 N은 A에서의 접선 위에 있으므로 AN⊥SM이다. 사영정리에 의해 SN²=SA×SM이다. 비례식 Qx:QT=SP:SN의 양변을 제곱하면 Qx²:QT²=SP²:SN²=SP²:SA×SM인데 명제 6에 의해 SPM은 이등변삼각형이므로 SM=SP이다. 따라서 Qx²:QT²=SP:SA이다. P가 Q와 같아질 때 Qx=Qv이므로 Qv²:QT²=SP:SA이다. 명제 19에 의해 Qv²=4SP×Pv이므로 QT²=4SA×Pv이다. 이 때 RQvP가 등변사다리꼴이므로 QR=Pv이다. 따라서 QT²=4SA×QR이다. SP²×QT²/QR=SP²×4SA인데 4SA는 명제 2에 의해 포물선의 수직지름과 같고 고정된 값이다. 따라서 SP²×QT²/QR은 SP²에 비례하며 정리 2에 의해 구심력은 SP²에 반비례한다.
암만 봐도 사과 떨어져서 알아냄 이거 씹구라인 듯함
책 원본을 보면 3법칙에 대한 내용도 있는데 궁금하면 저 위에 링크 있으니까 읽어보셈
그리고 타원은 특별히 훨씬 간단한 증명이 존재하는데 강의 영상이 있어서 이건 굳이 옮길 이유가 없어보임
뉴턴 미친놈 ㅋㅋㅋㅋ