1ebec223e0dc2bae61abe9e74683766d18156dbef70909582bda9367597951e38a2f76076938b1bf545e7043cacfb4e5908944

△ABC 외접원과 AI, BI의 교점을 각각 F, G라 하고, △AOF, △BOG 외접원(각각 Г1, Г2라 하자)의 O가 아닌 교점을 P'이라 하자. 이제 P'=P임을 보일 것이다.

I의 Г1, Г2에 대한 방멱은 각각 -AI*FI, -BI*GI인데 AI*FI=BI*GI니 I는 Г1, Г2의 근축인 OP' 위.
또 AO=FO니 ∠ AP'O=∠FP'O, 따라서 내각 이등분선 정리에 의해 AP':FP'=AI:FI. 또한 ∠AP'F=180°-∠AOF=180°-2*∠ACF=180°-2*∠C-∠A=∠B-∠C.

이때 AD와 BC 교점을 H라 하면 ∠AHD'=2*(90°-∠C-∠A/2)=∠B-∠C.
또 AI/HI=(b+c)/a=(sin(∠B)+sin(∠C))/sin(∠A)=cos((∠B-∠C)/2)/sin(∠A/2)=sin(∠C+∠A/2)/sin(∠A/2)=CF/HF.
이때 맨션정리에 의해 CF=IF=DF인 걸 쓰면 위 조건은 AI:IF=AH:HD와 동치(HD=HF+IF 대입 후 정리), 결국 AH:HD'=AI:IF.

따라서 △AHD'∽△AP'F(SAS)니 ∠FAX=∠HAD'=∠FAP'.
따라서 P', X, A는 일직선이고, 같은 방식으로 P', Y, B도 일직선. 결국 P'은 XA, YB의 교점이니 P'=P.



AH:HD=AI:IF은 논증적인 풀이가 있을 것 같은데 아직은 안찾아봄. 나는 걍 맨션정리&삼각함수 때렸음..