아까 안 풀었던 1-2번의 풀이임
삼각함수 노가다인줄 알았는데 생각보다 넓이 공식이 깔끔하게 나오네
1번.
(2)
∠APB=θ라 하자. 그럼 사인 넓이 공식에 의해 |□ABCD|=(AP*BP+BP*CP+CP*DP+DP*AP)*sin(θ)/2=AC*BD*sin(θ)/2.
그런데 3번의 풀이에서 보인 것처럼 ∠AMR=∠IMA, ∠ARM=∠IRC=∠IAM. 따라서 △AMR, △IMA가 닮음(AA)이고, IM/AM=AM/RM. 따라서 IM*RM=AM^2=AC^2/4.
또한 내각 이등분선 정리에 의해 IM/RM=IP/RP=(x/R)^2이니, IM*RM=(R/x)^2*IM^2=AC^2/4. 따라서 AC=2*R*IM/x.
같은 원리로 BD=2*R*IN/x이므로 AC*BD=4*R^2*IM*IN/x^2.
그런데 전에 보인 것처럼 (I, M, N), (I, O, P)는 각각 일직선, ∠OMP=∠ONP=90°라 (O, M, P, N)은 공원점이니 IM*IN=IO*IP=(R^2-x^2)*x^2/(R^2+x^2).
이를 정리하면 |□ABCD|={2*R^2*(R^2-x^2)/(R^2+x^2)}*sin(θ). 여기에 전에 보인 1-1 풀이에서 방정식 풀어 구한 x값; x=sqrt{R^2+r^2-r*sqrt(4*R^2+r^2)}를 대입 시 |□ABCD|=r*{r+sqrt(4*R^2+r^2)}*sin(θ).
따라서 sin(θ) 항 앞에 곱해진 수가 상수니 넓이가 최대일 때는 θ=90°일 때고, 넓이의 최댓값은 r*{r+sqrt(4*R^2+r^2)}.
삼각함수 노가다인줄 알았는데 생각보다 넓이 공식이 깔끔하게 나오네
1번.
(2)
∠APB=θ라 하자. 그럼 사인 넓이 공식에 의해 |□ABCD|=(AP*BP+BP*CP+CP*DP+DP*AP)*sin(θ)/2=AC*BD*sin(θ)/2.
그런데 3번의 풀이에서 보인 것처럼 ∠AMR=∠IMA, ∠ARM=∠IRC=∠IAM. 따라서 △AMR, △IMA가 닮음(AA)이고, IM/AM=AM/RM. 따라서 IM*RM=AM^2=AC^2/4.
또한 내각 이등분선 정리에 의해 IM/RM=IP/RP=(x/R)^2이니, IM*RM=(R/x)^2*IM^2=AC^2/4. 따라서 AC=2*R*IM/x.
같은 원리로 BD=2*R*IN/x이므로 AC*BD=4*R^2*IM*IN/x^2.
그런데 전에 보인 것처럼 (I, M, N), (I, O, P)는 각각 일직선, ∠OMP=∠ONP=90°라 (O, M, P, N)은 공원점이니 IM*IN=IO*IP=(R^2-x^2)*x^2/(R^2+x^2).
이를 정리하면 |□ABCD|={2*R^2*(R^2-x^2)/(R^2+x^2)}*sin(θ). 여기에 전에 보인 1-1 풀이에서 방정식 풀어 구한 x값; x=sqrt{R^2+r^2-r*sqrt(4*R^2+r^2)}를 대입 시 |□ABCD|=r*{r+sqrt(4*R^2+r^2)}*sin(θ).
따라서 sin(θ) 항 앞에 곱해진 수가 상수니 넓이가 최대일 때는 θ=90°일 때고, 넓이의 최댓값은 r*{r+sqrt(4*R^2+r^2)}.
굿굿 정확함 결국 사각형의 두 꼭짓점이 OI 위에 있을 때 (right kite 모양) 넓이가 최대가 됨