[문제/풀이] 2월 첫째주 문제 [풀이]

[ahpla(ahpla1013)]

# 2월 첫째주 문제 링크

더 풀 사람은 없을테니 그냥 풀이 올림

외심, 내심 모두 존재하는 사각형: bicentric quadrilateral이라 부름

풀이에 참고할만한 링크 달아놓겠음

최대한 이해하기 쉬운 정리들로만 작성함

# bicentric quadrilateral

# 대칭중선 (symmedian): Steiner's ratio theorem과 필요충분조건들 확인

# 뉴턴 정리: 내심이 존재할 때 성립, 사각형의 대각선 중점을 잇는 뉴턴 직선 위에 내심이 있다는 정리

# 톨레미 정리: 외심이 존재할 때 성립

# 스튜어트 정리

문제1

외심과 내심 사이의 거리에 대한 공식: Fuss's theorem

오일러 삼각형 정리 d²=R(R-2r), 1/r = 1/(R+d) + 1/(R-d)와 비교해보는 것도 좋음

고정된 d에 대해 사각형 넓이가 최대일 때는 사각형 두 꼭짓점이 OI 직선 위에 위치할 때.

즉 한 쌍의 대각이 90도이고, 두 대각선이 직교할 때 (직각연모양)

문제2

뉴턴 정리도 같이 증명해봤음

MIN 공선점임을 증명하면 OIP 공선점임을 보이는 것과 IP가 AIC 대칭중선임은 굉장히 쉽게 증명 가능함

그 다음 스튜어트 정리 써서 AC 길이 구하면 됨

문제3

앞서 증명한 것들을 잘 이용해주면 됨

아래 증명에서 AICQ'와 같은 길이비 성질 (AI * CQ' = AQ' * CI)을 가지는 사각형을 조화사각형 (harmonic quadrilateral)이라 부름