함수방정식 엄밀하게 풀이하는건 그닥 자신없음
틀린 부분 있으면 알려줘


문제
모든 실수 x, y에 대해
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1을 만족시키는 f: R→R 구하기


풀이
f의 치역을 Y = f(R)라함. 모든 x∈Y에 대해 x = f(y)인 y∈R가 존재하여
f(0) = f(x-x) = f(x) + x² + f(x) - 1 => 2f(x) = -x² + f(0) + 1
y=0 대입: f(x-f(0)) = f(f(0)) + xf(0) + f(x) - 1
=> {f(x-f(0)) - f(x) | x∈R} = {xf(0) + f(f(0)) - 1 | x∈R}  = R
즉, 모든 x∈R에 대해  x = f(z-f(0)) - f(z)인 z∈R가 존재.
p = f(z-f(0)), q = f(z)라 하면 p,q∈Y이고,
2f(x) = 2f(p-q) = 2f(q) + 2pq + 2f(p) - 2 = -q² + 2pq - p² + 2f(0)
          = -(q-p)² + 2f(0) = -x² + 2f(0)
x∈Y일 때도 성립하므로 2f(0) = f(0) + 1 => f(0) = 1
따라서, 모든 x∈R에 대해 f(x) = 1 - x²/2이고,
원 식에 넣어서 확인하면 성립함 (이건 그냥 계산이므로 생략).