문제:
외접원 위에서 세 변에 내린 수선의 발은 일직선상에 있다. 역도 성립한다.
풀이:
F에서 AB, BC, CA에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R이라 하자.
심슨의 정리의 역에 의해 세 점 P, Q, R이 공선점일 때, F는 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이다.
명제 11에 의해 P, Q, R은 모두 포물선의 꼭짓점에서의 접선 위의 점이므로 P, Q, R이 공선점이 아닐 때, 문제 조건을 만족하는 포물선은 존재하지 않는다.
따라서 문제 조건을 만족하는 포물선이 존재할 때, F는 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이다.
심슨의 정리에 의해 F가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이면 P, Q, R이 공선점이다.
이제 점 F가 A, B, C가 아닌 외접원 위의 점이면 문제 조건을 만족함을 보이면 된다.
직선 PQR이 꼭짓점에서의 접선이고 F가 초점인 포물선을 작도하면 명제 11에 의해 문제 조건을 만족함을 알 수 있다.
코사인법칙과 사인법칙으로 마무리하면 답은 14π/√3
심슨 직선 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
문제:
풀이:
풀이:
네 직선 중 세 직선을 골라 세 교점을 이은 삼각형의 외접원을 그리는 것을 네 번 반복한다. (각각 다른 방법으로 4번 고른다)
세 외접원의 공통된 교점을 F라 하고, F에서 네 직선에 모두 수선의 발을 내린 후 네 수선의 발을 지나는 직선을 긋는다.
이 직선이 꼭짓점에서의 접선이고 F가 초점인 포물선을 작도하면 풀이 끝.
문제 좋은듯!