문제:
살짝 표현을 바꾸면
풀이:
AD를 삼등분하는 점을 E, F라 하자.
ABC의 내심을 I라 하면 BE=(삼각형 ABC 둘레의 절반)-b이므로 내접원은 E에서 접한다.
직선 AI와 BC의 교점을 G라 하자.
AI:IG=(△ABI+△ACI):△BCI=(AB+CA):BC
DF:FG=¼a:(½a-BG)=¼a:(½a-a(AB/(AB+AC))=(AB+CA):2(CA-AB)=(AB+CA):BC
IF//AD, ∠ADB=∠IFE
그런데 IE는 BC에 수직이고 BE=EF이므로 IBF는 이등변삼각형이고 ∠IFE=∠IBE
따라서 ∠ABD=2∠IBD=2∠IFE=2∠ADB 증명 끝.
참고할 만한 정리인데, 원래 쌍곡선에서 두 접선의 교점은 내심임.
아래 정리를 알면 풀이에서 왜 뜬금없이 내심을 잡았는지도 이해할 수 있음.
F, F'가 초점인 쌍곡선 위의 두 점 P, P'에서의 접선이 점 T에서 서로 만날 때 ∠PFT=∠P'FT, ∠PF'T=∠P'F'T이다.
분명 쌍곡선에서 유명한 정리일 것 같아서 인터넷을 뒤져봤는데 언급도 없었음.
증명:
사각형에서 내접원이 존재할 조건은 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합이 같은 것이다.
쌍곡선의 정의에 의해 F'P'-FP'=F'P-FP, 이항하면 FP+F'P'=FP'+F'P이므로 사각형 FPF'P'에는 내접원이 존재한다.
쌍곡선의 반사 성질에 의해 ∠FPT=F'PT, ∠FP'T=F'P'T이므로 T는 사각형 FPF'P'의 내심이다.
따라서 ∠PFT=∠P'FT, ∠PF'T=∠P'F'T이다.
문제 풀이에선 E가 FF' 위에 있는 특수한 경우였고, 내접원은 항상 E에서 접하니까 내심을 잡는 것은 꽤 논리적임.
다 풀고 나니까 옛날에 한참을 헤맸던 문제가 불현듯 떠오르는데.. 지금 봐도 어려운 문제같음
혹시 저 아래문제 AD=BC 인가요?
https://gall.dcinside.com/m/geometry/1687
풀이 지금 봤는데, 풀이 자체에서 쌍곡선 성질 이용한건 없지 않나? 내접원과 BC의 접점이 BC의 사등분점인건 s-b (s: 반둘레)로 바로 나오고, IF//AD 증명하는 과정은 내각 이등분선 정리 + 문제 조건 이용한듯하고
아하. .. 쌍곡선 성질을 쓰긴 쓴건데 증명할 땐 큰 의미가 없는 것 같음
난데없이 내심을 잡는 이유가 설명되는 부분이라서 참고용으로만 남겨둠
풀이 자체는 그냥 내심 잡고 시작하면 되니까 쌍곡선은 크게 의미 없는듯한데 대신 저 자취 문제는 의미가 있어보임. E는 극한과 연계된 점이기도 하구 ∠ABD/∠ADB 비가 2가 아니면 tan에 대한 이차식이 아니어서 이차곡선이 안나올것 같은데
저 부분은 그냥 일반적인 쌍곡선에서 성립한다는 부분인데 설명을 좀 부정확하게 했음
원래 왜 이렇게 했는지까지 일일히 설명할 필요는 없긴 하지만 알고보니 이런 배경이 있었다.. 대략 이런 의도임