문제:
보조정리. 반지름이 r인 원에 외접하는 직각삼각형 중 가장 넓이가 작은 것은 직각이등변삼각형이고 넓이의 최솟값은 (3+2√2)r²이다.
증명: 빗변이 아닌 두 변의 길이를 a, b, 빗변의 길이를 c라 하자. a²+b²=c², c=a+b-2r에서 c를 소거하면 (a-2r)(b-2r)=2r²이다. △ABC=r²+2△BIC=r²+rc=r²+r(a+b-2r)이므로 a+b가 최소일 때 넓이가 최소이다. a-2r과 b-2r의 곱이 일정하므로 a=b일 때 a+b가 최소이다. 이 때 넓이는 (3+2√2)r²이다.
풀이:
2. 주어진 도형을 모두 코싸인값이 각각 1/a, 1/b인 각으로 두 번 투영시킨다.
그러면 타원에 대한 문제가 원에 대한 문제로 바뀐다. (타원의 방정식에서 x'=x/a, y'=y/b 대입하면 원의 방정식이므로)
넓이는 원래의 직각삼각형의 1/ab배. (a, b는 상수이다.)
보조정리를 이용하면 직각삼각형의 넓이의 최솟값은 3+2√2이고 다시 ab배 하면 (3+2√2)ab
3. 2번에서 했던 것과 비슷하게 변환하면 삼각형 넓이 S=pq/2ab이다.
따라서 장축과 단축의 길이의 곱은 4ab=2pq/S
보조정리에 의해 4ab≤2pq/(3+2sqrt2)
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