문제:

7ceb8574b28a68f03dea98bf06d604036599d145255c659afd


풀이:


a15714ab041eb360be3335625e80746825c4e23749d91bb5e382301ea6e093968575



두 점 X, Y가 그림처럼 있을 때 X를 지나는 공통외접선이 C₁, C₂과 접하는 점을 각각 D, E라 하자.

방멱 정리를 두 번 사용하면 XD=XE(=a)

a²=XP×XA=(XY+PA)(XY-PA)/4, XY²-PA²=4a²

문제 조건에서 (PA/XY)²를 이항하면 PB×PC/AB×AC=(XY²-PA²)/XY²=(2a/XY)²


사인법칙에 의해 R₁, R₂는 PA에 비례한다. O₁O₂=R₁×cosB+R₂×cosC이므로 O₁O₂도 PA에 비례한다.

피타고라스 정리에 의해 (2a)²=O₁O₂²-(R₁-R₂)², a는 PA에 비례한다.

2a=K×PA라 하면 PB×PC=AB×AC×K²×PA²/XY², PB×PC/PA²=AB×AC×K²/XY²

우변이 전부 상수이므로 좌변이 어떤 주어진 값일 때만 조건을 만족함을 알 수 있다.


□O₁DEO₂=a×(R₁+R₂), △O₁DX+△XEO₂=△XO₁O₂=a×(R₁+R₂)/2

그런데 △XO₁O₂=O₁O₂×XY/4이므로 O₁O₂/(R₁+R₂)=2a/XY

∠XO₁O₂=∠ABC, ∠XO₂O₁=∠BCA이므로 △ABC~△XO₁O₂, k=BC/(AB+AC)라 하면 k=O₁O₂/(R₁+R₂)=2a/XY이다.

각 BAC의 이등분선과 BC의 교점을 Q라 하면 각 이등분선 정리에 의해 AB:AC=QB:QC이다.

비례배분하면 QB=k×AB, QC=k×AC

QB×QC/AB×AC=k²=(2a/XY)²이므로 P가 Q와 같은 점일 때 조건을 만족한다.


P가 Q가 아닌 점 Q'와 같은 점일 때 조건을 만족한다고 하면 QB×QC/QA²=Q'B×Q'C/Q'A²

Steiner's ratio theorem의 역에 의해 ∠BAQ=∠CAQ'이다.

그런데 ∠BAQ=∠CAQ'이므로 Q=Q'이므로 귀류법에 의해 P가 Q가 아닐 때 조건을 만족하지 않는다.

따라서 유일하게 문제 조건을 만족시키는 점은 Q이다.