[문제/풀이] 정칠각형 문제 [풀이]

[ahpla(ahpla1013)]

문제1

문제2

문제3

문제4

문제1 풀이

정칠각형의 한 변의 길이 a, 짧은 대각선 길이 b, 긴 대각선 길이 c에 대해

톨레미 정리로 4가지 다른 관계식을 유도할 수 있는데,

이 문제를 풀 때 그 중 하나를 사용함.

# 톨레미 정리

문제2 풀이

지오지브라로 성질을 발견하고 만족스러운 풀이를 찾을 때까지 꽤 오래걸렸음.

성질도 신기하지만 풀이도 아름다움.

포물선의 성질 두 개가 사용됨

1) 축이 y축과 평행한 포물선의 두 접선에 대해 두 접점의 x 좌표 평균은 두 접선 교점의 x 좌표와 동일

2) 네 직선에 접하는 포물선의 준선은 네 직선으로 만들어지는 네 삼각형의 수심을 연결하는 직선.

# 포물선과 접선

# 메넬라우스 정리와 역

문제3 풀이

정칠각형은 유클리드 작도가 불가능한 도형이지만,

이차곡선 자취의 작도가 가능하다고 가정하면 다음과 같이 작도가 가능함.

얻어진 삼차방정식의 근이 cos(2nπ/7) (n = 1, 2, 3)임을 보일 때,

De Moivre 공식을 모른다면, 근과 계수의 관계 노가다로 보여도 됨.

문제4 풀이

정칠각형의 대각선 교점들 사이에는 공선점, 공원점 관계의 점들이 꽤 많은데

그 중 덜 자명한 케이스들을 모아서 증명해봤음.

혹시 내가 못 찾은 케이스들이 있거나 답에 오류가 있으면 알려줘.