[문제/풀이] 외심과 수심 [풀이]

[ahpla(ahpla1013)]

문제1

문제2

문제3

<풀이>

관련 칼럼은 아래 링크 참고

# 오일러 직선

# 구점원 (nine-point circle)

문제1 풀이

외심 (O), 무게중심 (G), 수심 (H)이 한 직선 위에 있다는 성질이 사용됨 (오일러 직선).

문제2 풀이

G가 OH를 1 : 2로 내분한다는 사실과

OH 길이 구하는 식을 알고 있어야 함.

문제3 풀이

O, H가 내각의 이등분선에 대해 등각을 이룬다는 사실,

구점원 중심 N이 OH의 중점이라는 사실,

내접원이 구점원에 내접한다는 사실 (Feuerbach 정리)을 알고 있어야 함.

Feuerbach 정리는 반전 (inversion)을 활용하는 증명으로도 유명한데,

반전을 사용하지 않는 증명도 물론 있음.

위키에는 증명이 소개되어 있지 않아서 링크를 남겨놓는 대신

나중에 별도의 게시글로 다뤄보도록 하겠음...

문제2, 문제3은 한 각이 60도인 삼각형과 관련된 성질을 다루고 있음.

i) 오일러 직선은 두 변의 수직이등분선이 이루는 각을 이등분한다.

ii) 내심과 구점원의 중심을 잇는 직선은 오일러 직선과 수직이다.

이외에도 더 많은 성질들이 있는데,

이것도 시간 나면 다뤄보겠음.