삼각형 ABC의 내부에 두 점 P, Q가 있다.
다음의 세 조건이 서로 필요충분조건임을 보여라.
1) (P, Q)는 ABC에 대한 등각켤레점
2) ABC에 대한 P, Q의 수족삼각형의 외접원은 동일
3) P, Q를 초점으로 하고 ABC에 내접하는 타원이 존재
[참고]
* 등각켤레점 (isogonal conjugate): 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각의 이등분선에 대해 대칭시켜 얻는 직선들의 교점.
* 수족삼각형 (pedal triangle): 주어진 점에서 주어진 삼각형의 각 변에 내린 수선의 발들을 꼭짓점으로 하는 삼각형.
* 타원의 성질: 초점이 F, F'인 타원 위의 점 X에서의 접선 l에 대해, XF + XF'의 값은 일정하고 (정의), l은 XF, XF'과 동일한 각을 이룬다 (반사 성질).
다음의 세 조건이 서로 필요충분조건임을 보여라.
1) (P, Q)는 ABC에 대한 등각켤레점
2) ABC에 대한 P, Q의 수족삼각형의 외접원은 동일
3) P, Q를 초점으로 하고 ABC에 내접하는 타원이 존재
[참고]
* 등각켤레점 (isogonal conjugate): 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각의 이등분선에 대해 대칭시켜 얻는 직선들의 교점.
* 수족삼각형 (pedal triangle): 주어진 점에서 주어진 삼각형의 각 변에 내린 수선의 발들을 꼭짓점으로 하는 삼각형.
* 타원의 성질: 초점이 F, F'인 타원 위의 점 X에서의 접선 l에 대해, XF + XF'의 값은 일정하고 (정의), l은 XF, XF'과 동일한 각을 이룬다 (반사 성질).
학교 연구에서 찾은 성질이네요ㅋㅋ 이걸 여기서 보다니 - dc App
오 알고 있다면 풀이를 남겨주세요
내일 학교 내신이라 내일 끝나자마자 정리해서 올릴게요 - dc App
2<=>3은 그냥 한 점애 대한 비율이 2인 homothety 잡으면 끝, 1<=>2는 그냥 등각켤레점의 기본성질. - dc App
1 <=> 2는 증명문제인데 자명하다고 넘기긴 좀 그렇고 간단하게라도 과정을 보여주면 좋을듯
1<=>3은 P를 각 변에 대해 대칭시킨 세 점의 외접원의 중심이 Q이므로 성립합니다 - dc App
넵 이 방법 (윗 댓글의 homothety 아이디어와 동일)으로 3 <=> 1, 3 <=> 2를 동시에 보일 수 있습니다. (물론 3을 거치지 않고 1 <=> 2를 다이렉트로 증명하는 방법도 존재)
풀이:
https://m.dcinside.com/board/geometry/2630