H_1, ... H_n을 공간 내에 서로 다른 n개의 평면이라 한다. H_1, ... H_n에 의해 공간이 T(H_1, ... H_n) 개의 공간영역으로 분할된다.
예를 들어, 공간 좌표를 (x,y,z)로 할 때,
(i) 평면 x=0, y=0, z=0을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 8,
(ii) 평면 x=0, y=0, x+y=1을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 7
(iii) 평면 x=0, x=1, y=0을 각각 H_1, H_2, H_3이라 하면 T(H_1, H_2, H_3) = 6
(iv) 평면 x=0, y=0, z=0, x+y+z=1을 각각 H_1, H_2, H_3, H_4라 하면 T(H_1, H_2, H_3, H_4) = 15이다.
문제
(1) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 최댓값을 구하여라.
(2) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 2번쨰로 큰 값을 구하여라. 그러나 n>=2으로 한다.
(3) 각 n에 대하여 T(H_1, ... H_n)이 가질 수 있는 값 중 3번쨰로 큰 값을 구하여라. 그러나 n>=3으로 한다.
풀이 보면 조합론에 가까운데 풀어보실..?
1번은 nC3+nC2+nC1+nCo 일건데 2번3번은 생각을 좀 해봐야겠네요
해설을 본 입장에선 3번은 깨닫지도 못하거나, 엄밀히 규명하기 어려울듯. 그리고 저 조합식은 제가 이해를 못함ㅠ
nC3+nC2+n+1 = (n^3+5n+6)/6이니까 맞나보네요
근데 어케 푸심? 혹시 케이크 넘버 알고 계신건가
(1) n번째 평면을 추가할 때 나머지 (n-1)개의 평면과의 교선이 만드는 조각 개수만큼 평면수가 늘어나니 최댓값은 f(n) = f(n-1) + (n²-n+2)/2, f(0) = 1 => f(n) = (n³+5n+6)/6. 윗댓처럼 초기 (nC0) + 평면수 (nC1) + 교선수 (nC2) + 교점수 (nC3)로 생각해도 동일한 결론을 얻음. 그리고..
(2), (3)은 각각 f(n)-1, f(n)-2 (n ≠ 4)일듯. (2)는 (n-1)개의 평면이 만드는 교선중 하나와 평행한 n번째 평면을 잡으면 됨 (그러면 n번째 평면 위에 생기는 교선 중 한 쌍만 평행). (3)은 (2)의 상태에서 한 평면을 평행이동시켜 세 교선이 한 점에서 만나게 하면 됨. 마지막으로 초기조건을 따져봐야하는데...
(2)에서 n = 2일 때는 f(2)-1 = 3, (3)에서 n = 3일 때는 f(3)-2=6개가 되게 만들 수 있는데 (3)에서 n = 4일 때는 f(4) - 2 = 13개가 아닌 12개가 최대일듯. 세 교선으로 다섯 조각을 만들 수는 없기 때문.
다 정답이네요