작업1과 작업2를 여러번해서 나온 결과는

작업1을 먼저한다음 작업2를 해도 똑같이 나올수 있다

작업1을 먼저한 후 작업2를 했을때 결과가 항상 n%3=0,1임을 보이자


작업2를 할때 검은색깔개수의 홀짝은 바뀌지 않으므로

검은색이 처음에 홀수였다면 하얀색으로 바꾸는것은 불가능하다

따라서 처음의 검은색은 짝수개라고 가정하자


작업2를 할때


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검-검, 흰-검, 흰-흰 사이에 하는 경우가 있다

흰-검 사이에서 할 때 중간에 생기는 정점을 무시하고 검정색을 흰쪽으로 옮긴다고 생각해보자

이 때 각 칸에 추가 되는 정점은 매번 2배가 된다

이 때 1+2=3이고 증명하는것은 3의 나머지에 관한것이기 때문에

각 칸사이를 지나간 검은색의 홀짝만 고려해주면 된다


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검-검은 검정색 2개가 만나면 없어지는것으로 볼수 있다

흰-흰은 연속된 검정색 2개를 만들고 그 중간의 홀짝을 바꾼다


검-검과 흰-검만 보면 검정색들이 여러개 있을때 검정색들을 2개씩 매칭해서

없애는것으로 볼 수 있다



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흰-흰을 고려하지 않고 검정색의 위치를 a1~a2k라 하고 검은색을 2개씩 매칭한다 생각할때 홀수번 지나가는 부분은 a1~a2, a3~a4, ... a2k-1~a2k이다

흰-흰 하더라도 바뀌지 않음을 알 수 있다


즉 작업1을 a번 했을때의 초기상태에서 딱히 변하지 않는다

어떤 칸사이를 검은색이 지나간게 홀수번일때 정점이 하나 추가된것과 똑같이 생각할 수 있다


경우1. 작업1을 한쪽에만 함

BBBBBBW인 경우가 나온다

각 B의 위치차는 1이고 B 2개당 정점 3개가 나오고 W하나가 남으니 n%3=1


경우2. 작업1을 양쪽에함

해보면 중간에 W가 하나있고 양쪽끝에 W임을 알 수 있다


WBBBBWBBW같이 양쪽의 B가 짝수개씩 있는 경우:

경우1과 같이 B 2개당 3개씩 나오고 W 3개 있으니 n%3=0


WBBBWBBBW같이 양쪽의 B가 홀수개씩 있는경우:

중간의 B의 거리는 2, 나머지는 1

따라서 B2개당 정점3개가 나오고 하나가 더 나옴

W 3개+1 이므로 n%3=1


칸 사이에 정점에 검정색 드가는경우 생각안했긴한데 아마 그래도 똑같을듯??

맞는진 ㅁ?ㄹ