문제:
외접사각형 PQRS의 대각선 교점 X에서 PQ, QR, RS, SP까지의 거리를 각각 p, q, r, s라 할 때, (PQ * RS) / (QR * SP) = (q + s) / (r + p)임을 보여라.
풀이:
내접원의 중심을 O라 하자.
네 직선 PQ, QR, RS, SA가 내접원과 접하는 점을 각각 A, B, C, D라 하자.
네 선분 AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 K, L, M, N이라 하자.
두 점 A, D에서 QR, RS에 내린 수선의 발을 각각 H₁, H₂라 하자.
공선점이 2개인 경우에서 브리앙숑의 정리에 의해 네 직선 PR, QS, AC, BD는 한 점 X에서 만난다.
네 점 P, Q, R, S를 내접원에 대해 반전시킨 점은 각각 N, K, L, M이다.
반전변환 거리 공식에 의해 NK=r²×PQ/OP×OQ, KL=r²×QR/OQ×OR, LM=r²×RS/OR×OS, MN=r²×SP/OS×OP.
따라서 NK×LM/KL×MN=PQ×RS/QR×SP.
중점연결정리에 의해 LM=½BD=NK, KL=½AC=MN,
사인법칙에 의해 BD/AC=sin∠DCB/sin∠ABC.
접현각에 의해 ∠DCB=∠DBQ, ∠ABC=∠ACS,
PQ×RS/QR×SP=BD²/AC²=BD×sin∠DBQ/AC×sin∠ACS=DH₂/AH₁
보조정리. 이등변삼각형의 밑변 위의 임의의 한 점에서 다른 두 변에 이르는 거리의 합은 일정하다.
따라서 AH₁=p+r, DH₂=q+s.
앞서 증명한 식에 대입해주면 PQ×RS/QR×SP=(q+s)/(p+r)로 증명 끝
댓글 1