[질문/답변] 21' ISL A1

[KMO(jes060423)]

A1인데 제가 조합고자라 모르겠네요ㅠ 도와주세요

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[dyp(irc2265)]

엄밀한지는 모르겠는데 (3/2)^(4x)>5^x라서 성립하는 느낌같음

[Mutse(mutse)]

직관이 좋으시네요. - dc App

[Mutse(mutse)]

귀류법으로 모든 원소가 c+2a<=3b를 만족한다고 가정해보세요. - dc App

[익명(110.70)]

비둘기집의 원리로 바로보일수도 있습니다. A의 원소를 크기가 작은 것부터 a_1, a_2, ... , a_(4n+2) 라고하면 항들이 소거되면서 sigma(k = 1 to 4n) {(2/3)^(4n-k)×(a_(4n+2) - 3a_(k+1) + 2a_k)} = 3{(a_(4n+2) - a_(4n+1)) - (2/3)^(4n)x(a_(4n+2) - a_1)}

[익명(110.70)]

이고, 가정에서 a_(4n+1) - a(4n+1) >= 1, (2/3)^(4n)×(a_(4n+1) - a_1) = (16/81)^n×(a_(4n+1) - a_1) <= (16/81)^n×5^n < 1 이므로 (신기하게도 16/81 < 1/5 입니다. 이는 첫댓 다신분의 직관이지요.)

[익명(110.70)]

3{(a_(4n+2) - a_(4n+1)) - (2/3)^(4n)x(a_(4n+2) - a_1)} > 0 임을 알 수 있어서 비둘기집 원리에의해, sigma 안에 합하는 (1<= k<=4n 에대한) (2/3)^(4n-k)×(a_(4n+2) - 3a_(k+1) + 2a_k) 중 적어도 하나는 0보다 커야합니다.

[익명(110.70)]

즉, 적당한 k에대해 a_(4n+2) - 3a_(k+1) + 2a_k > 0 이라는 얘기니 세 원소 a,b,c 를 각각 a_k, a_(k+1), a_(4n+2) 로 두면 존재성을 확인할 수 있고 증명이 끝나게됩니다.

[KMO(jes060423)]

힌트를 받고 고민해봤으나, 풀리지 않아 선생님의 풀이를 읽었습니다. 첫 댓글의 telescoping은 생각하기 힘들었습니다 멋진 풀이입니딘 - dc App