문제:
삼각형 ABC의 내접원이 BC, CA, AB와 각각 D, E, F에서 만난다. B를 지나는 CA의 평행선, C를 지나는 AB의 평행선이 EF와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. BR // CS가 되게 PD 위의 점 R과 QD 위의 점 S를 잡을 때, RF와 SE의 교점은 언제나 내접원 위에 있음을 보여라.
풀이:
PD와 평행하고 E를 지나는 직선을 긋고 CS와 만나는 점을 R'이라 하자.
ES와 QR'의 교점을 X, DQ와 ER'의 교점을 Y라 하자.
BD=BF=BP이므로 B는 DPF의 외심이고, 같은 방법으로 C는 DEQ의 외심이다.
원주각은 중심각의 절반이므로 ∠DPF=½∠B, 같은 방법으로 ∠DQP=½∠C.
∠PBF=∠A이므로 ∠BPF=90°-½∠A.
∠CEY=∠BPR=∠BPF-∠DPF=½∠C=∠DQP
CE, CQ와 E, Q에서 접하는 원 C를 그리면 접현각이 같으므로 Y는 원 C 위의 점이다.
그런데 C, R', S가 같은 직선 위의 점이므로 파스칼 정리의 역에 의해 X는 원 C 위의 점이다.
평행선끼리 이루는 각의 크기가 같으므로 △BPR~△CER'
△BFP~△CQE이므로 BP:CE=BR:CR'=BF:CQ, △BFR~△CQR', ∠BFR=∠CQX.
접현각에 의해 ∠CQX=∠QEX.
RF와 SE의 교점을 K라 하면 ∠KEF+∠KFE=90°-½∠A.
∠EKF=90°+½∠A이고 ∠EDF=90°-½∠A이므로 D, E, F, K는 같은 원 위의 점이다.
더 간단한 방법은 안 보여서 그냥 올렸는데 많이 돌아간 풀이일지도 모름
R,I,S가 공선점이더라고요 그걸 이용할수도 있지 않을깨 싶습니다 - dc App
그렇네요 다른 풀이도 생각해보겠습니다
X가 원 위의 점인건 파스칼 정리 역의 결과인것 같고 ∠BFR = ∠CQX는 BPF ~ CEQ로부터 얻어지는 결과 같네. 생략된 부분이랑 자잘한 오타 수정하면 완벽할듯!
잘 안 보이는데 어떤 부분이 오타인지 알려줄 수 있음?
3번째줄: B는 DPF의 외심 / 7번째줄: E, Q에서 접하는
ㄱㅅ