보조정리 1. 고정된 외접원과 내접원을 갖는 삼각형들을 생각하자. 외접원상에 임의로 고정된 한 점을 잡았을 때, 이 점에 대한 각 삼각형들의 심슨 선이 하나의 고정점을 공통으로 지난다.
고정점이 그림에서 T임. 증명과 T가 어떤 점인지에 대한 설명은 이 글을 참고: https://gall.dcinside.com/mathematics/334004
보조정리 2. 외접원 위의 점과 심선 선은 그 점과 삼각형의 수심을 이은 선분을 이등분한다.
인터넷에서 증명을 찾아볼 수 있음.
보조정리 3. 포물선과 만나지 않는 외부의 원과 포물선에 접하는 직선은 네 개 존재한다.
사차방정식의 네 실근으로 생각하면 그럴 듯 함.
https://gall.dcinside.com/m/geometry/2721
증명:
외접원이 주어졌으니 외심도 주어진 셈이고, 무게중심, 구점원의 중심, 외심, 수심은 다 일직선 상에 있으면서 거리 비도 알려져 있으므로(오일러 직선) 수심을 작도할 수 있음.
외접원 위의 임의의 점을 S라 하자.
수심 H과 S을 이은 선분의 중점을 M, 보조정리 1에서 주어진 고정점을 T라고 하고, 보조정리 2에 의해 직선 TM이 삼각형의 S에 대한 심슨 선으로 결정됨.
심슨 선 위의 임의의 점 P를 지나면서 SP에 수직한 직선은, S가 초점이고 심슨 선이 꼭짓점에서의 접선인 포물선에 접하게 됨. (https://gall.dcinside.com/m/geometry/2254 참고)
그리고 보조정리 3에 의해 포물선에 접하면서 내접원에 접하는 직선이 네 개 존재하는데, 그 중 하나는 T를 지나는 접선임.
나머지 세 개의 직선이 이루는 삼각형을 ABC라고 하면 이 삼각형이 문제 조건을 만족함.
S가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점인 건 심슨의 정리의 역에 의해서 당연함.
외심, 내심, 수심이 주어진 삼각형을 찾는 문제는 해결됐다고 볼 수 있음.
A, B, C 위치를 기하적으로 특정할 수 있는 신선한 방법이네 ㄷㄷ
문득 궁금해지는게 네 접선 중 하나가 T를 지나고 나머지 세 접선으로 만들어지는 삼각형의 꼭짓점이 전부 주어진 외접원 위에 위치하는게 당연한가?
보조정리2의 증명은
https://m.dcinside.com/board/geometry/2253
여기에 있긴 함
S의 위치가 바뀜에 따라서 T의 위치, T를 지나는 접선도 계속 바뀌는데, ABC는 고정되어 있으니까 나머지 세 접선이 ABC의 세 변이지 않으면 아예 ABC는 존재하지 않게 되어버림
'A, B, C가 존재한다면 주어진 외접원 위에 있어야 한다'인거 같아서 존재성을 가정하고 시작한 느낌이 여전히 들긴 함... 네 접선 중 하나는 언제나 T를 지나는 이유도 아직 잘 모르겠음
T를 지나고 포물선과 내접원에 접하는 직선이 존재하는데(T의 정의에 따르면), 포물선과 내접원에 접하는 직선은 네 개니까 그 중 하나는 T를 지남
주어진 H, S로부터 포물선과 원의 공통접선 네 개까지는 그냥 주어진대로 작도하면 되는데, 그 결과로 만들어지는 삼각형의 꼭짓점이 외접원 위에 있는 것은 외접원과 내접원 사이의 거리가 알맞게 주어져 있기 때문이 아닌가라고 생각해서.. 여전히 결과론적 얘기 같아 보이지만 굳이 복잡하게 따질 필요 없는것 같기도 함
존재성 증명은 아니었던 걸로.. 그냥 구체적인 삼각형을 찾는 방법으로 남겨두겠음
좋은 풀이 ㄱㅅㄱㅅ