(1) 오목사각형 부등식
∠C > 180°인 오목사각형 ABCD에 대해 AB + AD > CB + CD임을 보여라.
(2) 페르마점 문제
원 O와 내부의 한 점 P가 주어져 있고,
원 O 위의 점 A, B, C에 대해 PA, PB, PC가 서로 120°를 이룬다.
PA + PB + PC가 최소가 될 때는 PA, PB, PC 중 하나가 OP와 수직일 때임을 보여라.
두 문제 모두 깔끔한 풀이를 못 찾겠음. 아이디어 있으면 공유해줘.
(2)의 경우 ∠APO = θ, 원 O의 반지름 R, OP = d라 하면 AP = f(θ)는 코사인법칙에 의해 다음과 같고, 맨 아래 식의 최솟값을 구하는 문제로 바뀜. 직접 그래프를 그려보면 알겠지만 변동폭이 굉장히 작음... 미분해서 θ = 90°일 때 극값임을 보이는 건 어렵진 않지만 그게 최솟값이라는걸 보이는건 어렵네
- dc official App
첫번째 문제는 B,D를 초점으로 하는 타원을 생각해보면 될것같습니다 - dc App
그게 가장 직관적인 설명 같네요
1번 E=AB와 CD의 교점으로 잡고 삼각부등식 2번 써도 나오네요 - dc App
그렇네요 좋은 풀이 감사합니다
(2)는 참인 명제임?
참이 맞을걸? 위치 바꿔가며 확인해본거라
(1)번은 일반적으로 "서로다른 두 점(본문에서는 BD라고 볼 수 있음)을 잇고 둘다 두점을 잇는 직선의 어느 한쪽에 몰려있는 볼록곡선 은 더 멀리 빙둘러가는 쪽이 항상 더 길다" 도 성립함. 특히 다각형의 둘레의 일부도 볼록곡선으로 볼 수 있는 거지